Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionentheorie » Holomorphie » Funktionentheorie: Gamma-Funktion, elliptische Funktionen, holomorphe Fortsetzung
Autor
Universität/Hochschule Funktionentheorie: Gamma-Funktion, elliptische Funktionen, holomorphe Fortsetzung
tomandjerry
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 02.02.2019
Mitteilungen: 10
  Themenstart: 2019-04-02

Hallo Zusammen, Ich lerne gerade für eine Funktionentheorie Klausur und komme bei diesen 2 Teilaufgaben nicht weiter: 1.) Für welche n gibt es eine nichtkonstante holomorphe Funktion \(f: \mathbb{C}/\Lambda \to \overline{\mathbb{C}} \) vom Grad n? 2.) Kann der Kotagens zu einer holomorphen Funktion \(\overline{\mathbb{C}} \to \overline{\mathbb{C}}\) fortgesetzt werden. Zu 1: Mir ist hierbeit nicht sehr klar, ob solch eine Funktion die auf ein Torus definiert ist automatisch elliptisch ist. In dem Fall würde sich die Frage erübrigen, da es keine solche funktion gibt. Ansonsten hätte ich keinen Ansatz für n>1. Zu 2: Da dachte ich könnte man den Identitätssatz verwenden. Jedoch sind die \(\infty\) - Stellen für den Kotangens diskret, sodass der Satz nicht anwendbar ist. Ich wäre für jede Hilfe dankbar!


   Profil
Ex_Senior
  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-02

Hallo tomandjerry, \quoteon Zu 1: Mir ist hierbeit nicht sehr klar, ob solch eine Funktion die auf ein Torus definiert ist automatisch elliptisch ist. In dem Fall würde sich die Frage erübrigen, da es keine solche funktion gibt. Ansonsten hätte ich keinen Ansatz für n>1. \quoteoff Doppeltperiodische Funktionen entsprechend genau den Funktionen auf einem Torus. \quoteon Zu 2: Da dachte ich könnte man den Identitätssatz verwenden. Jedoch sind die ∞ - Stellen für den Kotangens diskret, sodass der Satz nicht anwendbar ist. \quoteoff Kannst Du auch. Das Problem ist hier, was in $\infty$ geschieht. Um wieder mit einer ganz gewöhnlichen holomorphen Funktion zu arbeiten nimmst Du statt $f:\hat\IC\to\hat\IC$ einfach $f(1/z)$ oder $1/f(1/z)$. Nach Einschränkung des Definitionsbereichs steht Dir dann der ganz gewöhnliche Identitätssatz zur Verfügung.


   Profil
tomandjerry
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 02.02.2019
Mitteilungen: 10
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-02

Danke TomTom314, aber zu Punkt 2: Ist unendlich immer ein Häufungspunkt? Oder wie "sieht" man das?


   Profil
Ex_Senior
  Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-02

Vielleicht sollte ich folgendes klarstellen. Du verwendest zwar den Identitätssatz, aber zeigst damit, dass der Kotangens nicht fortgesetzt werden kann. Wie Du schon richtig erwähnt hast, ist die Null-/Polstellenmege diskret. Dazu gibt es folgende schöne Aussage. Falls $X\subset K$ eine diskrete (und abgeschlossene) Teilmenge einer kompakten Menge ist, dann ist $X$ endlich. Läßt sich gut für $K=\hat\IC$ verwenden. Die Frage, ob der Kotangens fortgesetzt werden kann, läßt sich auch allgemeiner beantworten. Jede holomorphe Abbildung* $f:\hat\IC\to\hat\IC$ ist eine rationale Funktion, d.h. es gibt Polynome $g,h\in\IC[x]$, s.d. $f=g/h$. Der Beweis zu dieser Aussage ist nicht viel schwerer als die Frage nach der Fortsetzbarkeit des Kotangens. * die nicht konstant $f=\infty$ ist.


   Profil
tomandjerry
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 02.02.2019
Mitteilungen: 10
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-06

Ich habe zu 1.) eine Lösung gefunden, die mich jedoch verwirrt: Die Lösung lautet: n=2: Weierstraßsche p Funktion n=3: Ableitung der Weierstraßschen p Funktion n>3: Struktursatz anwenden Mich verwirrt diese Lösung. Die Weierstraßsche p Funktion ist doch nicht holomorph auf \(\mathbb{C}/\Lambda\), da sie einen Pol in 0 besitzt. Nach dem 1. Liouvillschen Satz gilt auch: Jede holomorphe elliptische Funktion ist konstant. Übersehe ich da was? Hoffe mir kann jemand weiterhelfen.


   Profil
Ex_Senior
  Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-06

Hallo tomandjerry \quoteon 1.) Für welche n gibt es eine nichtkonstante holomorphe Funktion \(f: \mathbb{C}/\Lambda \to \overline{\mathbb{C}} \) vom Grad n? \quoteoff Das Problem liegt in der Formulierung der Aufgabe. Ich halte es für eine gute Idee konsequent zwischen holomorpher Funktion, meromorpher Funktion und holomorpher Abbildung zu unterscheiden. Elliptischen Funktionen sind (bis auf konstante) keine holomorphen Funktionen, d.h. 1.) Für welche n gibt es eine nichtkonstante holomorphe Abbildung \(f: \mathbb{C}/\Lambda \to \overline{\mathbb{C}} \) vom Grad n? wäre aus meiner Sicht die bessere Wortwahl. Hier wäre es auch noch gut, wenn Du die Definiton für "Grad einer elliptischen Funktion" nachreichst. Ich würde jetzt von "Grad = Anzahl der Nullstellen" ausgehen(???).


   Profil
tomandjerry hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]