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  3 gleich geladene Punktladungen in Reihe |
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Euler_eleluler
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 |  Themenstart: 2019-04-06
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Guten Abend,
ich habe gerade über eine Aufgabe nachgedacht und weiß mir nicht so richtig zu helfen.
Es sind 3 Punktmassen/-ladungen in Reihe angeordnet und die beiden Äußeren sind fest und alle 3 besitzen q=+e. Nun die Frage, mit welcher Frequenz schwingt die mittlere Punktmasse?
Irgendwie sehe ich hier keine Zusammenhänge..
Vielleicht ist es auch einfach zu spät jetzt dafür... naja.
Freue mich auf eure Antworten. lg
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4982
 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-06
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\quoteon(2019-04-06 01:27 - Euler_eleluler im Themenstart)
Irgendwie sehe ich hier keine Zusammenhänge..
\quoteoff
Welceh Kraft wirkt denn auf die mittlere Ladung, wenn sie sich genau in der Mitte zwischen den beiden anderen befindet? Was ändert sich an dem Ergebnis, wenn sie sich aus der Mitte herausbewegt?
--zippy
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Vercassivelaunos
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| Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-06
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Hallo Euler_eleluler,
Geht es um Schwingung nach einer nur kleinen Auslenkung um den Ruhepunkt? Dann könntest du nämlich das Potential um den Mittelpunkt taylorn und dann die Frequenz aus der sich ergebenden harmonischen Bewegungsgleichung bestimmen.
Bei Schwingung mit großer Auslenkung würde ich wegen der Divergenz des Potentials an den Stellen der festen Ladungen davon ausgehen, dass die Frequenz auch noch von der Amplitude abhängt. Für deren Bestimmung habe ich aber keinen Ansatz parat.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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MontyPythagoras
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-06
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Laut Coulombschen Gesetz gilt für die Abstoßungskraft zwischen zwei Ladungen:
$$F=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0r^2}$$Nehmen wir an, der Abstand in Ruhe zwischen der mittleren und einer äußeren Ladung sei $r_0$. Dann ist Rückstellkraft in Abhängigkeit von der Auslenkung $x$:
$$F=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0(r_0-x)^2}-\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0(r_0+x)^2}=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{(r_0+x)^2-(r_0-x)^2}{(r_0^2-x^2)^2}\right)=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{4r_0x}{(r_0^2-x^2)^2}$$$$F=\frac{q^2r_0}{\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{x}{(r_0^2-x^2)^2}$$Die Bewegungsgleichung lautet demnach:
$$m\ddot x+F(x)=0$$mit $m$ als Masse des schwingenden Teilchens. Also:
$$m\ddot x+\frac{q^2r_0}{\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{x}{(r_0^2-x^2)^2}=0$$Für kleine Auslenkungen vereinfacht sich die Gleichung zu:
$$\ddot x+\frac{q^2}{\pi\varepsilon_0mr_0^3}\cdot x=0$$Da solltest Du die Schwingungsfrequenz leicht ausrechnen können. Für größere Auslenkungen gilt:
$$\dot x\ddot x+\frac{q^2r_0}{\pi\varepsilon_0m}\cdot\frac{\dot xx}{(r_0^2-x^2)^2}=0$$$$\frac12\dot x^2+\frac{q^2r_0}{2\pi\varepsilon_0m}\cdot\frac{1}{r_0^2-x^2}=c$$Sei $a$ die maximale Auslenkung, dann gilt weiter:
$$\dot x^2+\frac{q^2r_0}{\pi\varepsilon_0m}\cdot\frac{1}{r_0^2-x^2}=\frac{q^2r_0}{\pi\varepsilon_0m}\cdot\frac{1}{r_0^2-a^2}$$$$\dot x^2=\frac{q^2r_0}{\pi\varepsilon_0m}\left(\frac{1}{r_0^2-a^2}-\frac{1}{r_0^2-x^2}\right)$$$$\dot x^2=\frac{q^2r_0}{\pi\varepsilon_0m(r_0^2-a^2)}\cdot\frac{a^2-x^2}{r_0^2-x^2}$$$$\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=\sqrt{\frac{q^2r_0}{\pi\varepsilon_0m(r_0^2-a^2)}}\cdot\sqrt{\frac{a^2-x^2}{r_0^2-x^2}}$$$$t=\sqrt{\frac{\pi\varepsilon_0m(r_0^2-a^2)}{q^2r_0}}\intop\sqrt{\frac{r_0^2-x^2}{a^2-x^2}}\mathrm dx$$Eine komplette Schwingung dauert dann:
$$T=4\sqrt{\frac{\pi\varepsilon_0m(r_0^2-a^2)}{q^2r_0}}\intop_0^a\sqrt{\frac{r_0^2-x^2}{a^2-x^2}}\mathrm dx$$Wir substituieren
$$x=a\sin\varphi\qquad \mathrm dx=a\cos\varphi\;\mathrm d\varphi$$$$T=4\sqrt{\frac{\pi\varepsilon_0m(r_0^2-a^2)}{q^2r_0}}\intop_0^\frac\pi2\sqrt{r_0^2-a^2\sin^2\varphi}\;\mathrm d\varphi$$Wir ziehen noch das $r_0$ aus dem Integral:
$$T=\frac4q\sqrt{\pi\varepsilon_0mr_0(r_0^2-a^2)}\intop_0^\frac\pi2\sqrt{1-\frac{a^2}{r_0^2}\sin^2\varphi}\;\mathrm d\varphi$$
und haben das vollständige elliptische Integral 2. Art in der klassischen Legendre-Form:
$$T=\frac4q\sqrt{\pi\varepsilon_0mr_0(r_0^2-a^2)}\;E\left(\frac a{r_0}\right)$$
Ciao,
Thomas
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zippy
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| Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-06
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Warum rechnest du, ohne auch nur eine einzige Rückmeldung des Fragestellers abzuwarten, die Lösung komplett vor?
(Wobei zur Lösung der Aufgabe vermutlich eine lineare Näherung der Bewegungsgleichung ausreichen würde.)
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Euler_eleluler
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-06
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Hallöchen, danke für eure Antworten!
Stimmt. Ich habe vergessen zu erwähnen, dass es um kleine Auslenkungen geht, sorry.
@Vercassivelaunos. Ich erinnere mich, dass ich das so schonmal machen musste. Dann müsste ich doch die Formel: $V= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{}^{} \frac {\rho_{el}}{r} dV$ ,wobei $\rho_{el}$ die Ladungsdichte ist, nehmen, da es um mehrere Teilchen geht oder? Nicht also die Formel für eine Punktladung?
@zippy, zu deinem ersten Post: liegt sie genau in der Mitte erfährt sie von den beiden äußeren den gleichen Betrag an Coloumbkraft. Wenn sie sich aus der Mitte rausbewegt, scheint es mir so, als würde der Betrag sich nicht ändern.. oder?
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zippy
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| Beitrag No.6, eingetragen 2019-04-06
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\quoteon(2019-04-06 15:30 - Euler_eleluler in Beitrag No. 5)
Wenn sie sich aus der Mitte rausbewegt, scheint es mir so, als würde der Betrag sich nicht ändern.. oder?
\quoteoff
Nein: Die Abstoßung durch die nähere der beiden äußeren Punktladungen überwiegt dann, und es wirkt in Summe eine Kraft in Richtung der Mitte auf die mittlere Ladung.
Diese Kraft kannst du durch Ableiten der Gesamtkraft$$
F(z)=\frac{(3e)^2}{4\pi\epsilon_0}\left[
\frac{z-a}{|z-a|^3}+\frac{z+a}{|z+a|^3}\right]
$$($2a$ ist der Abstand der beiden äußeren Ladungen, $z$ ist der Ort der mittleren Ladung auf der Verbindungslinie der beiden äußeren Ladungen, $z=0$ entspricht dem Mittelpunkt) an der Stelle $z=0$ leicht ausrechnen.
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Vercassivelaunos
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| Beitrag No.7, eingetragen 2019-04-06
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
Allgemein kannst du dass von dir genannte Integral verwenden, aber das wäre hier overkill. Du kannst auch einfach dass Potential der zwei Einzelladungen addieren: $V_\textrm{ges}(x)=V(x-a)+V(x+a)$ mit dem Potential $V$ einer Einzelladung. Die Kraft, die aus diesem Potential resultiert, ist dann die von zippy angegebene. Dir steht dann im Prinzip frei, $V$ bis zum quadratischen Term zu entwickeln, oder die Kraft bis zum linearen Term. Beides führt dich auf die selbe Bewegungsgleichung.\(\endgroup\)
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Euler_eleluler
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-06
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@zippy,
Ist es hier dringend notwendig deine Schreibweise $\frac{z-a}{|z-a|^3}+\frac{z+a}{|z+a|^3}$ zu benutzen um fortzufahren?
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Euler_eleluler
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-06
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Okay ich habe das mal probiert.
Bei der Taylorentwicklung zum 1. Term bleibt bei mir übrig:
$f(x)=-\frac{3e^2}{\pi \epsilon_0 a^3} \cdot x$. Wäre das so korrekt?
Edit: Nur sehe ich immernoch nicht, wie ich diese Gleichung lösen sollte um irgendwie auf eine Frequenz zu kommen, könntet ihr mir da noch einen Tipp geben? (angenommen der erste Teil stimmt erstmal)
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zippy
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| Beitrag No.10, eingetragen 2019-04-06
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\quoteon(2019-04-06 18:15 - Euler_eleluler in Beitrag No. 9)
$f(x)=-\frac{3e^2}{\pi \epsilon_0 a^3} \cdot x$. Wäre das so korrekt?
\quoteoff
Fast: $\displaystyle F(x)=-\frac{\color{red}(3e\color{red})^2}{\pi \epsilon_0 a^3} \cdot x$
\quoteon(2019-04-06 18:15 - Euler_eleluler in Beitrag No. 9)
Edit: Nur sehe ich immernoch nicht, wie ich diese Gleichung lösen sollte um irgendwie auf eine Frequenz zu kommen, könntet ihr mir da noch einen Tipp geben? (angenommen der erste Teil stimmt erstmal)
\quoteoff
Erinnere dich an den harmonischen Oszillator. Desses Bewegungsgleichung hat die Form $m\,\ddot x=F(x)$ mit einer Kraft $F(x)=-k\,x$.
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vGvC
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| Beitrag No.11, eingetragen 2019-04-06
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\quoteon(2019-04-06 19:24 - zippy in Beitrag No. 10)...
Fast: $\displaystyle F(x)=-\frac{\color{red}(3e\color{red})^2}{\pi \epsilon_0 a^3} \cdot x$
\quoteoff
Woher kommt der Faktor 3? Die Kraft auf die mittlere Ladung ist doch
\(\Large F=\frac{e^2}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot (a+x)^2}-\frac{e^2}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot (a-x)^2}=\frac{e^2}{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0}\cdot\frac{-4a}{(a^2-x^2)^2}\cdot x \)
Für x << a wird daraus
\(\Large F=-\frac{e^2}{\pi\cdot\epsilon_0\cdot a^3}\cdot x\)
Oder etwa nicht?
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zippy
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| Beitrag No.12, eingetragen 2019-04-06
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\quoteon(2019-04-06 21:23 - vGvC in Beitrag No. 11)
Woher kommt der Faktor 3?
\quoteoff
Ich hatte fälschlicherweise im Startbeitrag $q=3e$ gelesen.
Mit $q=e$ sind aller 3er in den Beiträgen 6 und 10 zu streichen und es ergibt sich, wie bei dir, $\displaystyle F(x)=-\frac{e^2}{\pi \epsilon_0 a^3} \cdot x$.
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Euler_eleluler
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-06
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Da war es doch so, dass man dort ${\omega_0}^2 = \frac {m}{k}$, und die Frequenz am Ende einfach $f= \frac{{\omega_0}^2}{2 \pi}$ ist oder? Damit wäre ich ja eig. fertig?
Danke für die Hilfe!
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
edit: Meine natürlich k/m
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zippy
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| Beitrag No.14, eingetragen 2019-04-06
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\quoteon(2019-04-06 21:40 - Euler_eleluler in Beitrag No. 13)
edit: Meine natürlich k/m
\quoteoff
$\displaystyle \omega^2=\frac km$ ist richtig.
\quoteon(2019-04-06 21:40 - Euler_eleluler in Beitrag No. 13)
$f= \frac{{\omega_0}^2}{2 \pi}$
\quoteoff
$\displaystyle f=\frac\omega{2\pi}$ (ohne $^2$)
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Euler_eleluler
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 02.02.2019
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-06
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So war das genau.
Dann bedanke ich mich an dieser Stelle!
Schönen Abend noch.
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