Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionalanalysis » Δ u=f, div f=0 ⇒ div u=0 auf allgemeinen Gebieten
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Δ u=f, div f=0 ⇒ div u=0 auf allgemeinen Gebieten
trewqtrewq
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.08.2016
Mitteilungen: 95
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-14


Ich beziehen mich auf dieses Paper und dabei warum (7.7) die schwache Formulierung von (7.6) ist. Meine Frage ist warum $ \operatorname{div} u=0$ von (7.7) auf einem allgemeinen Gebiet impliziert wird .
Dabei ist

Gleichung (7.6)  
$ \operatorname{curl}  \operatorname{curl}u -  \operatorname{grad}   \operatorname{div} u =f$  
$ \operatorname{div} u=0$  
$u \times n=0$  
wobei $ \operatorname{div} f=0$, d.h. $\langle f, \operatorname{grad} q\rangle=0 \ \forall q \in H^1_0(\Omega)$. Wir suchen eine Lösung in  $H_0(curl)\cap H(div)$, d.h. $\operatorname{curl} u,\ \operatorname{div} u \in L^2(\Omega)$ und $u \times n=0$ .

Für Gleichung  7.7 führen sie die Variable $p= \operatorname{div}u$ ein und geben einfach die gemischte Formulierung des Vektor Laplacian an:  
Suche $(u,p)\in H_0( \operatorname{curl})\times H^1_0(\Omega)$ sodass
$\langle  \operatorname{curl} u,  \operatorname{curl}v\rangle-\langle  \operatorname{grad} p,v\rangle=\langle f,v\rangle \quad \forall  v \in H_0( \operatorname{curl}) $  
$-\langle u, \operatorname{grad}q\rangle-\langle p,q\rangle =0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad  \forall q \in H^1_0(\Omega)$.

Warum impliziert diese Formulierung $ \operatorname{div}u=0$?
Am Ende ist das einfach die schwache Formulierung von $ \operatorname{curl} \operatorname{curl} u -  \operatorname{grad} \operatorname{div}u=-\Delta u=f$ (1).

Auf konvexen Mengen exisitert das Resultat (2), dass die Lösung der Laplace Gleichug $-\Delta \Phi (=- \operatorname{div}  \operatorname{grad}\Phi)=  \operatorname{div} u$ eine Lösung $\Phi \in H^2(\Omega)$ hat, wenn die rechte Seite in $L^2$ ist. Dann könnte man einfach (1) mit $ \operatorname{grad}\Phi$ testen und bekommt, dass $\langle  \operatorname{div}u ,  \operatorname{div}\ u\rangle=0$, da $ \operatorname{curl}  \operatorname{grad} =0$ und $ \operatorname{div} f =0$.
Aber auf nicht konvexen Mengen gilt Resultat (2) im Allgemeinen nicht.

Gilt auf nicht konvexen Gebieten immer noch, dass (7.7) $ \operatorname{div} u=0$ impliziert?
 




 



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]