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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Charakteristische Funktion und Potenzmenge
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Universität/Hochschule J Charakteristische Funktion und Potenzmenge
tstening
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  Themenstart: 2002-11-01

Hallo alle miteinander, ich habe hier eine Aufgabe gestellt bekommen, mit der ich nicht so ganz klar komme. Zuerst mak die Aufgabenstellung und dann meine Gedanken dazu. Aufgabe: Es sei X eine Menge. Zu jeder Teilmenge UÌX heißt die Abbildung x_u : X -> {0,1}, mit x_u := 1 wenn xÎU x_u := 0 sonst die charakteristische Funktion von U. Man zeige: Es gibt eine bijektive Abbildung von P(X) (Potenzmenge) auf {f : X -> {0,1}}. Mein Gedanken dazu: Für jede Menge, die in P(X) enthalten ist, sieht die chrakteristische Funktion anders aus, da die Mengen in P(X) alle unterscheidlich zueinander sind. Also wird jeder Menge aus P(X) genau eine Funktion zugeordnet. Andererseits: Bildet man für jede Teilmenge U_i von X die Funktion f : X ->{0,1}, so sollte die Anzahl der Funktionen genau so groß sein, wie die Anzahl an Teilmengen U_i in X. Tja und diese Anzahl ist genauso groß, wie die Anzahl an Mengen in P(X). Also sollte es eine bijektive Abbildung sein, weil eine 1-1-Abbildung vorliegt. Aber wie beweist man das ordentlich? Oder ist der Gedankengang falsch? Viele Grüße, Tobias :-)

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  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-01

Hallo, tstening! Dein Gedankengang ist wohl richtig. Um die Behauptung zu zeigen, musst Du die bijektive Abbildung angeben und dann nachweisen, dass sie wirklich bijektiv ist. Ich schlage vor: p: P(X) -> {f : X -> {0, 1}}, U -> cU. Und nun gehst Du die Definitionen von injektiv und surjektiv durch. Gruss, E. [ Nachricht wurde editiert von Ende am 2002-11-01 14:06 ]

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