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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Folgen und Reihen » Beweis: Absolute Konvergenz --> normale Konvergenz
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Universität/Hochschule J Beweis: Absolute Konvergenz --> normale Konvergenz
HDMIii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-19


Hallo,

ich habe unteren Beweis im netz gefunden.
Darin wird belegt, dass wenn eine Reihe absolut konvergent ist sie immer auch konvergent ist.

Ich kann soweit auch folgen, bis zur letzten Zeile.

Und zwar habe ich davor ja gezeigt, dass wenn die Reihe absolut konvergent ist, dann gilt:

fed-Code einblenden

Das ist doch das Cauchy Kriterium für die Reihe (d.h. ohne Betrag). Damit kann ich sagen, dass es sich bei der Reihe
fed-Code einblenden
Nun giltaber doch nur in Banachräumen, dass daraus folgt, dass die Reihe fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Und an diesem Punkt hänge ich gerade.




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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-19


Edit: Hat sich erledigt.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-19


Ich glaube nicht, dass HDMIii dies verwechselt.

Ich entnehme dem Kontext aber, dass die Folge \(a_k\) eine Folge in \(\mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\) ist. Beides sind Banachräume, daher verstehe ich das Problem nicht.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-19


Ja, sorry du hast recht. Ich habe da selbst nicht genau aufgepasst...



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Hallo HDMIii,

du hast Recht, dass der Beweis nur in vollständigen Räumen funktioniert. Und tatsächlich gilt die Aussage auch nur in vollständigen Räumen. Man kann sich zum Beispiel eine rationale Reihe konstruieren, die gegen eine irrationale Zahl konvergiert, sodass aber die Reihe der Beträge gegen eine rationale Zahl, zum Beispiel 1, konvergiert. Diese Reihe wäre in $\Q$ absolut konvergent, aber nicht konvergent.
Dafür nehmen wir mal eine irrationale Zahl $0<r<1$. Dazu konstruiere man eine Reihe mit rein positiven, rationalen Summanden, die gegen $r$ konvergiert, und eine zweite, die gegen $1-r$ konvergiert. Zieht man die zweite Reihe von der ersten ab und ordnet um (beide Reihen sind rein positiv, also in $\R$ absolut konvergent, also ist das erlaubt), dann erhält man eine Reihe, die gegen $r-(1-r)=2r-1\in\R\backslash\Q$ konvergiert. In $\Q$ konvergiert diese Reihe also nicht.
Die Reihe der Beträge konvergiert aber gegen $r+(1-r)=1$. Sie konvergiert also auch in $\Q$. Damit haben wir eine Reihe, die in $\Q$ absolut konvergiert, aber nicht konvergiert.
\(\endgroup\)


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HDMIii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-20


2019-04-19 23:16 - Kampfpudel in Beitrag No. 2 schreibt:

Ich entnehme dem Kontext aber, dass die Folge \(a_k\) eine Folge in \(\mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\) ist. Beides sind Banachräume, daher verstehe ich das Problem nicht.

Das würde mein Verständnisproblem lösen. Dumm gefragt: Woran siehst du das?



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-04-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo HDMIii,

ich versuch mich mal an einer stellvertretenden Antwort, aber ohne Garantie. wink

Aus dem Startbeitrag geht das in der Tat nicht hervor, also für mich zumindest nicht. Wenn man aber die anderen Fragen, die du in den letzten Tagen hier gestellt hast, zu einem Gesamtkontext zusammenfasst, dann liegt die Vermutung nahe, dass du dich gerade im Rahmen von Analysis 1 mit Reihenkonvergenz beschägftigst. Und da geht es in aller Regel um reelle Zahlen mit gelegentlichen Ausflügen nach \(\IC\).  smile


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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HDMIii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-20


Ok, das könnte sein. :)

Vielleicht noch eine Frage zur letzten Zeile.
Ich hätte da geschrieben:

Also ist fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
eine Couchy folge (und da wir uns in einem vollständig normierten Raum befinden) ist fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
auch konvergent.

Wäre das auch korrekt, oder warum benötigt man den Zwischenschritt mit
fed-Code einblenden
?



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 956
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-04-20


Hi,

hier geht es einfach um die korrekte Schreibweise von Folgen. Siehe dazu der entsprechende Wikipedia-Eintrag.


Gruß, Diophant



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-04-20


2019-04-20 14:10 - HDMIii in Beitrag No. 7 schreibt:
Ok, das könnte sein. :)

Vielleicht noch eine Frage zur letzten Zeile.
Ich hätte da geschrieben:

Also ist fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
eine Couchy folge (und da wir uns in einem vollständig normierten Raum befinden) ist fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
auch konvergent.

Wäre das auch korrekt, oder warum benötigt man den Zwischenschritt mit
fed-Code einblenden
?

Das wäre korrekt. Ob du schreibst "\( \bigg(\sum\limits_{k=1}^{n} a_k \bigg)_n\) ist eine CF" oder "\(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \) ist eine CF" ist egal, denn es bedeutet das gleiche.

Noch einmal dazu, warum ich denke, dass die Folge \(a_k\) in \(\mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\) liegt.

Im Beweis steht ständig die Zeichenfolge "\(|a_k|\)", womit man ja üblicherweise den Betrag der komplexen oder reellen Zahl \(a_k\) bezeichnet. Manchmal bezeichnet man damit auch die euklidische Norm im \(\mathbb{R}^n\). Befänden wir uns in einem allgemeineren normierten Raum, so würde man wohl eher \(\| a_k \|\) schreiben.

Da in dem von dir zitierten Beweis auch nirgends die Rede von normierten Vektorräumen oder gar Banachräumen ist, nehme ich an dass der Beweis aus einem Lehrbuch oder einer Vorlesung Analysis 1 stammt, wo man noch gar nicht bei normierten Räumen angelangt ist sondern "lediglich" bisher gesehen hat, dass in \(\mathbb{R}\) (oder evtl. auch \(\mathbb{C}\)) jede CF auch konvergiert.



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HDMIii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-20


Achso,
 das fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
steht für die Folge der Partialsummen fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Wenn diese Folge konvergiert bedeutet das, dass auch die unendlichste-Partialsumme (n->unendlich) fed-Code einblenden
und damit der Reihenwert konvergiert.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-04-20


Also, der Ausdruck "\(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\)" hat mehrere Bedeutungen. Einerseits bezeichnet eben dieser Ausdruck die Folge der Partialsummen, also die Folge \((s_n)_n\), wobei \(s_n:=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k\). Andererseits bezeichnet der Ausdruck "\(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\)" auch den Grenzwert der Folge \((s_n)_n\), sofern dieser existiert.



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HDMIii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-20


Ja, irgendwie kann ich mich mit der Zweideutigkeit noch nciht ganz anfreunden xD.


Also, der Ausdruck "\(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\)" hat mehrere Bedeutungen.

Einerseits bezeichnet eben dieser Ausdruck die Folge der Partialsummen, also die Folge \((s_n)_n\), wobei \(s_n:=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k\).

\(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\)=\((s_n)_n\)=\((s_1,s_2,s_3,...)\)=( \(\sum\limits_{k=1}^{1} a_k\),\(\sum\limits_{k=1}^{2} a_k\),\(\sum\limits_{k=1}^{3} a_k\),...)

Andererseits bezeichnet der Ausdruck "\(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\)" auch den Grenzwert der Folge \((s_n)_n\), sofern dieser existiert. Dieser Grenzwert wäre ja der Wert der unendlichsten Partialsumme s.
\(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\)=s=\({a_1+a_2+a_3+...}\)

Wäre das korrekt?



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Kampfpudel
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ja



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HDMIii
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Alles klar.

Dann danke an alle :)



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