Die Mathe-Redaktion - 24.05.2019 15:24 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAnmeldung MPCT Sept.
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 481 Gäste und 21 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Ringe » das <4k+1> monoid abschliessend
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Seite 1   [1 2]   2 Seiten
Autor
Universität/Hochschule das <4k+1> monoid abschliessend
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-22


2019-04-16 19:24 - weird in Beitrag No. 20 schreibt:

(1) $p\in K$ ist prim:$\Leftrightarrow p\ne 1 \ \land \ \forall a,b\in K: p\mid ab\Rightarrow p\mid a\lor p\mid b$.

(2) $p\in K$ ist nicht prim:$\Leftrightarrow p=1\ \lor \ \exists a,b\in K: p\mid ab \land p\not\mid a \land p\not\mid b$.

k Reduzibel in $K\Rightarrow$ k nicht prim $\displaystyle in K$.
p Prim in $\displaystyle K\Rightarrow$ p irreduzibel $\displaystyle\in K$.


auch wenn ich mich wiederhole


In K sind Zerlegungen in irreduzible Faktoren nicht unbedingt eindeutig, z.B, oder wie oben $\displaystyle 77*33=121*21=2541$.

Oder
In K sind Zerlegungen in primfaktoren nicht unbedingt eindeutig, z.B, oder wie oben $\displaystyle 77*33=121*21=2541$.


Ich moechte das nur nochmal fuer mich klar darlegen um es in Gänze zu verstehen.
Wenn Irrtuemer drin sind bitte ich um Berichtigung.


1) Es gibt eine eindeutige Zerlegung eines reduziblen Elementes $\displaystyle l \in K$ in Primfaktoren in $\displaystyle K$ oder nicht?
(Dies ist eine ja /nein Frage!), bitte auch nur mit ja /nein beantworten, danke.
2) Es gibt mindestens eine evtl. mehrere Zerlegungen eines beliebigen reduziblen $\displaystyle l \in K$ in irreduzible Faktoren in $\displaystyle K$ oder nicht? (Dies ist eine ja /nein Frage!)
3) Es gibt eine, meist viele Zerlegungen eines beliebigen $\displaystyle l \in K$ in reduzible Faktoren in $\displaystyle K$ oder nicht?
(Dies ist eine ja /nein Frage!)

Analog in den natuerlichen Zahlen $\displaystyle N$ die auch ein Monoid sind, gilt:
1) $\displaystyle 36=2*2*3*3$ ist eine eindeutige Zerlegung von 36 in prim Faktoren in N. Und es gibt nur diese! oder;)

2) $\displaystyle N: 36=4*9 \land 36= 3 \cdot 12 \land 36= 4*9 \land 36=6*6$ sind verschiedene Zerlegungen von 36 in beliebige Faktoren, die (ir-)reduzibel oder prim sein koennen.

aus (2) sehen wir, dass 3 eine Primzahl in N ist, denn $\displaystyle 3\in N$ ist prim: $\Leftrightarrow 3\ne 1  \land \forall a,b\in N: 3\mid ab\Rightarrow 3\mid a\lor 3\mid b$.

Die Irreduzibilität eines Elementes  $\displaystyle l \in <4k+1>$ reicht in dem $<4k+1>$ Monoid, das wir ab nun $\displaystyle K$ nennen,
nicht fuer die Aussage aus, dass l auch prim $\displaystyle \in K$ ist.

Das ist eine Eigenschaft, die uns sonst nur aus nicht-Dedekindringen bekannt ist. Die haben auch einen Namen den ich nicht weiss.(Dies ist eine Frage!)
Diese Strukturen haben eben die Eigenschaft der Vielfachen Zerlegbarkeit gewisser Elemente $\displaystyle l \in K$.

z.B. ist
$\displaystyle 2,3,6,3\pm\sqrt{-3}\in Z[\sqrt{-3}], 6=2\cdot3 \land 6= (3+\sqrt{-3})\cdot (3-\sqrt{-3})$. d.h. Primfaktorzelergung von 6 nicht eindeutig! 2 und 3 irreduzibel aber nicht prim.

Es galt folgende 3 Behauptungen in K zu beweisen:

Ein $p\in K∖{1}$ ist genau dann irreduzibel, wenn eine der folgenden Bedingungen gilt:

(1) p ist Primzahl.
oder
(2) $p=q^2$ für eine Primzahl q, welche mod 4 in der Restklasse von 3
liegt.

oder

(3) $p=q1\cdot q2$ für zwei verschiedene Primzahlen $q1,q2$, welche beide $3 \mod 4$ sind.

(1) sehe ich nicht direkt aber

(2) und (3) sind offenbar , da wenn es eine zerlegung von p in in 2 Zahlen aus $3 \mod 4$ gibt, dann kann es auch keine andere Zerelgung von p in Primfaktoren geben. vorrausgesezt wird Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in K und N.

Um z,B festzustellen ob 37 irreduzibel oder prim ist koennen wir einfach feststellen dass 481=13*37 das Produkt 2er $3 \mod 4$ primes ist, und testen ob 13*37 noch andere Zerlegungen in K hat.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4700
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-22


2019-04-22 10:12 - juergen007 im Themenstart schreibt:
2019-04-16 19:24 - weird in Beitrag No. 20 schreibt:

(1) $p\in K$ ist prim:$\Leftrightarrow p\ne 1 \ \land \ \forall a,b\in K: p\mid ab\Rightarrow p\mid a\lor p\mid b$.

(2) $p\in K$ ist nicht prim:$\Leftrightarrow p=1\ \lor \ \exists a,b\in K: p\mid ab \land p\not\mid a \land p\not\mid b$.

k Reduzibel in $K\Rightarrow$ k nicht prim $\displaystyle in K$.
p Prim in $\displaystyle K\Rightarrow$ p irreduzibel $\displaystyle\in K$.


auch wenn ich mich wiederhole


In K sind Zerlegungen in irreduzible Faktoren nicht unbedingt eindeutig, z.B, oder wie oben $\displaystyle 77*33=121*21=2541$.

Oder
In K sind Zerlegungen in primfaktoren nicht unbedingt eindeutig, z.B, oder wie oben $\displaystyle 77*33=121*21=2541$.


Ich moechte das nur nochmal fuer mich klar darlegen um es in Gänze zu verstehen.
Wenn Irrtuemer drin sind bitte ich um Berichtigung.


1) Es gibt eine eindeutige Zerlegung eines reduziblen Elementes $\displaystyle l \in K$ in Primfaktoren in $\displaystyle K$ oder nicht?
(Dies ist eine ja /nein Frage!), bitte auch nur mit ja /nein beantworten, danke.

Nein.

2) Es gibt mindestens eine evtl. mehrere Zerlegungen eines beliebigen reduziblen $\displaystyle l \in K$ in irreduzible Faktoren in $\displaystyle K$ oder nicht? (Dies ist eine ja /nein Frage!)

Ja.

3) Es gibt eine, meist viele Zerlegungen eines beliebigen $\displaystyle l \in K$ in reduzible Faktoren in $\displaystyle K$ oder nicht?
(Dies ist eine ja /nein Frage!)

Nein.

Analog in den natuerlichen Zahlen $\displaystyle N$ die auch ein Monoid sind, gilt:
1) $\displaystyle 36=2*2*3*3$ ist eine eindeutige Zerlegung von 36 in prim Faktoren in N. Und es gibt nur diese! oder;)

Ja. (Anm.: Eindeutigkeit heißt dabei, wie schon oben und auch nachfolgend immer, Eindeutigkeit bis auf die Reihenfolge der Primfaktoren.)

2) $\displaystyle N: 36=4*9 \land 36= 3 \cdot 12 \land 36= 4*9 \land 36=6*6$ sind verschiedene Zerlegungen von 36 in beliebige Faktoren, die (ir-)reduzibel oder prim sein koennen.

Ja.

aus (2) sehen wir, dass 3 eine Primzahl in N ist, denn $\displaystyle 3\in N$ ist prim: $\Leftrightarrow 3\ne 1  \land \forall a,b\in N: 3\mid ab\Rightarrow 3\mid a\lor 3\mid b$.

Jein. Es stimmt, dass 3 prim in dem multiplikativen Monoid $\mathbb N^*$ ist (bitte Stern beachten, da man hier die 0 unbedingt weglassen muss!), aber dies folgt nicht aus (2), wenn damit der vorige Punkt gemeint ist, sondern aus dem, was du hier als Begründung geschrieben hast.

Die Irreduzibilität eines Elementes  $\displaystyle l \in <4k+1>$ reicht in dem $<4k+1>$ Monoid, das wir ab nun $\displaystyle K$ nennen,
nicht fuer die Aussage aus, dass l auch prim $\displaystyle \in K$ ist.

Ja, die Menge der Primelemente von $K$ ist eine echte Teilmenge der Menge der irreduziblen Elemente von $K$, falls du das meinst.

Das ist eine Eigenschaft, die uns sonst nur aus nicht-Dedekindringen bekannt ist. Die haben auch einen Namen den ich nicht weiss.(Dies ist eine Frage!)
Diese Strukturen haben eben die Eigenschaft der Vielfachen Zerlegbarkeit gewisser Elemente $\displaystyle l \in K$.

z.B. ist
$\displaystyle 2,3,6,3\pm\sqrt{-3}\in Z[\sqrt{-3}], 6=2\cdot3 \land 6= (3+\sqrt{-3})\cdot (3-\sqrt{-3})$. d.h. Primfaktorzelergung von 6 nicht eindeutig! 2 und 3 irreduzibel aber nicht prim.

Ja, es gibt eben noch andere Monoide, in denen genau wie in unserem $K$ es mehr irreduzible Elemente als Primelemente gibt. Das alles ist so gesehen also nicht wirklich neu!

Um z,B festzustellen ob 37 irreduzibel oder prim ist koennen wir einfach feststellen dass 481=13*37 das Produkt 2er $3 \mod 4$ primes ist, und testen ob 13*37 noch andere Zerlegungen in K hat.

Es sind Sätze wie diese, wo nichts, aber auch wirklich nichts stimmt, die jeden Helfer verzweifeln lassen, weil er merkt, es waren eigentlich alle Erklärungen bisher umsonst!  frown

Allein die  Einleitung "um festzustellen, ob 37 irreduzibel oder prim ist" zeigt, dass du offenbar keinen Unterschied zwischen diesen beiden Begriffen machst, obwohl sie grundverschieden definiert und sie i.Allg. auch nicht zusammenfallen, wofür gerade auch $K$ ein schönes Beispiel ist.  Noch einmal: Primelemente sind spezielle irreduzible Elemente! Eine Zerlegung in Primelemente ist immer(!) eindeutig, eine Zerlegung in irreduzible Elemente ist es i.Allg. nicht! Und dass 37 ein Primelement in $K$ ist, sollte eigentlich sonnenklar sein, denn 37 ist ja eine Primzahl und damit sogar ein Primelement in $\mathbb N^*$, also dann erst recht in dem Teilmonoid $K$!



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
blindmessenger
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2016
Mitteilungen: 950
Aus: Sachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-22


@weird  @juergen007

Ihr beide seid klasse... Wie ein altes Ehepaar! ;-)




-----------------
Gruß blindmessenger



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-25


Aus
LinkPrime und irreduzible Elemente
from TomTom:

Für ein p∈K gilt: p prim in K ⟺ p Primzahl in N, p irreduzibel in K ⟺ p prim in K oder p=p1p2 mit p1,p2≡3 mod 4 Primzahlen in N.

Ausfuehrlicher:

1. Für ein p prim in K $\Leftrightarrow$ p Primzahl in  N, $\displaystyle p$ irreduzibel in K $\Leftrightarrow$ p prim in K.
 
Oder
2. p irreduzibel in K: $\Leftarrow p=p1\cdot p2, p1,p2 \equiv 3 \mod 4$ Primzahlen in N (wie z.B. 11,19,23,,31,,43,) sind irreduzibel in K.

0)Die Produkte aus 2 er (!) solcher sind immer irreduzibel in K aber nicht unbedingt prim wie 21,33,77.

(x)Denn wenn es eine Zerlegung in genau 2 solche $3 \mod4$ primes gibt, dann gibt es keine andere Zerlegung in Primzahlen in N, und schon gar nicht in K.
           
Mich interessiert welche aus K sind irreduzibel UND prim in K.

Wie stellen wir Primitivität fest, außer bei Bundestagsabgeordneten?
sondern fuer eine beliebige gegebene $\displaystyle k \in K$.
Erste Forderung ist die Primitivität in N. 209 ist nicht prim in N aber irreduzibel in K
Aber es gibt noch mehr irreduzible und nicht prime in K, siehe 2.
Und es gibt irreduzible und prime in K.
Bei 209 ist Reduzibilitaet in N klar , 209=11*19 wg. obigen 2. damit nicht unbedingt sofort Reduzibilitaet  in K.
Angenommen wir koennen (x) nicht anwenden, dann will ich jetzt feststellen, ob 209=11*19  irreduzibel in K ist und zusätzlich noch prim in K ist.
Ohne die Info, dass alle p prim in N auch prim in K sind und umgekehrt.
Den kompletten Beweis dazu habe ich noch nicht, aber es scheint klar:
Frei raus könnte man sagen wenn es keine Primfaktorenzerlegung in N gibt dann erst recht nicht in K.
Das wäre aber nur die eine Richtung. p nicht prim in N => p nicht prim in K.
oder p prim in K => p prim in N.
Die Hinrichtumg waere also p prim in N => p prim in K.
Aber  p nicht prim in K => p nicht prim in N. sehe ich nicht sofort, was nicht heisst, dass sie nicht stimmt, sondern ich nehme das als dictum und arbeite damit.

Also ist nun 209 (a)irreduzibel und (b)prim in K?

Nutze das Lemma von Euklid:

(1) p∈K ist prim:⇔p≠1 ∧ ∀a,b∈K:p∣ab⇒p∣a∨p∣b oder

(2) p∈K ist nicht prim:⇔p=1 ∨ ∃a,b∈K:p∣ab∧p∤a∧p∤b

Noch einmal: Primelemente sind spezielle irreduzible Elemente!

Ich brauche nur 209 durch alle kleineren k aus K <>1 teilen also $5,9,13,17,.. $ und fertig 209 ist irreduzibel in K.
Aber 209 ist reduzibel und nicht prim in N, denn 209=11*19.
Das Verfahren um alle Primelemente in K zu finden,  könnte man aus dem Sieb des Eratosthenes abstrahieren.

Ich will eben nur 209 nehmen.

(1) 209∈K ist prim:⇔209≠1 ∧ ∀a,b∈K:209∣ab⇒209∣a∨209∣b oder
(2) p∈K ist nicht prim:⇔209=1 ∨ ∃a,b∈K:209∣ab∧209∤a∧209∤b.

Vermutung 209 prim in K:
Im folgenden nehme ich mal (2) was sich liest wie:
Es existiert ein vielfaches von 209, so dass

$\displaystyle\exists m=(4k+1)(4l+1)=16kl+4(k+l)+1$,

$\displaystyle 209|(4(4kl+l)+k+1), 4(4kl+l)+k) \equiv 208 \mod 209$,

$\displaystyle (4kl+l)+k)\equiv 52\mod 209,(4kl+l)+k)\equiv 13\mod 209$.

Und wir haetten ein Zerlegung von 209 oder dessen vielfachen und ein passendes k und l.

Wie finde ich nun solche Primfaktoren a=4k+1,b=4l+1?

Als ansatz: Nimm k fest und l lasse ich laufen:
Text
k|l|4kl|4kl+l|4kl+l+k|(4kl+l+k)\mod 209
1|1|4  | 5   | 6     |
1|2|8  | 10  | 11    |
1|3|12 | 15  | 16    |
1|4|16 | 20  | 21    |
1|5|20 | 25  | 26    |
1|6|24 | 30  | 31    |
1|7|28 | 35  | 36    |
1|8|32 | 40  | 41    |
1|9|36 | 45  | 46    | 51
                     | 56
                     | 61
                     | 66
                     | 71
                     | 76
                     | 81
                     | 86
                     | 91,101,106,206,211=2, 216=7, 221=12,...
// mit k=1 komme ich nicht weiter ..

Also es gibt eine  sehr umständliche brute force Methode um ein k,l zu finden so dass $\displaystyle (4kl+l)+k)\equiv 13\mod 209$ ist.
bzw. $\displaystyle 209 \mid (4k+1)(4l+1)$
$\displaystyle 209 \mid (4k+1)(4l+1) \equiv 209 \mod 209$
$\displaystyle 209 \mid (4k+1)(4l+1): 16kl]4k+4l\equiv 0 \mod 209$
$\displaystyle (16kl+4k+4l)\equiv 208 \mod 209$
$\displaystyle 4(4kl+k+l)\equiv 208 \mod 209$
$\displaystyle (4kl+k+l)\equiv 13 \mod 209$

Da kam der Tip dem chinesischen restsatz von pkztupel. Danke nochmal.

Aber wenn man den nicht versteht so wie ich im Moment ;) , dann kann man die Lösung programmieren.

etwa so:

anm.: das prog ist noch nicht ausgereift wenn s interessier kann ichs noch mal überarbeiten.

Ich garantiere nicht fuer die Richtigkeit des Programmes.

Findet man aber so gültige k und l, so ergeben sie eine Zahl aus K=x*y*m, die durch 209 teilbar ist mit Faktoren x und y in K, die beide ein vielfaches von 209 teilen.

Also prim im K sind.
Ich habe nicht wie anfänglich gefordert herausgefunden , ob 209 prim oder nicht ist. Die Methode hatte creasy angedeutet, und ich wollte das gern verallgemeinern: um mit bestimmten Vorgaben x und y zu finden die prime Elemente in K sind.
Aber es ergibt prime Faktoren p und q von 209 oder einem vielfachen von 209. p|a and p|b mit xy=209m, x,y prim in K.

Dann hätten wir so echte Primfaktoren in K nämlich p und q bzw. 4k+1, 4l+1 in K gefunden, die beide ein Vielfaches von 209 teilen und nach Euklid prim sind.
Genau wie 2*2*3*3=36 ist und man aus der Existenz und Zerlegung von 36 schliessen kann, dass 2 und 3 Primzahlen im N-monoid sind.
Haben wir ein reduzibles m*209 gefunden, dessen eindeutige Primfaktorzerlegung (ab)in K existiert?

Ich hoffe es sind nicht zuviel formale Fehler drin..
Gesucht war eine Methode, um irreduzble UND prime Elemente in K zu finden, die eine Teilmenge der irreduzblen in K sind.


Ich hab das Prog noch nicht getestet es ermöglicht aber das finden von Elementen $(4k+1) \in K $, die echt irreduzibel und prim sind.

@ blindmessenger erstmal n=brauchste n besseren Nickname, dann denken wir mal ueber ein Adoption nach  8-)


danke
J



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4700
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-25


2019-04-25 03:27 - juergen007 in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich will eben nur 209 nehmen.

(1) 209∈K ist prim:⇔209≠1 ∧ ∀a,b∈K:209∣ab⇒209∣a∨209∣b oder
(2) p∈K ist nicht prim:⇔209=1 ∨ ∃a,b∈K:209∣ab∧209∤a∧209∤b.

Vermutung 209 prim in K:
Im folgenden nehme ich mal (2) [..]

Ich gehe jetzt auf diesen einen Punkt oben ein, vielleicht können wir nach der Devise "Non multa, sed multum!" nur mal diese eine Denkblockade hier ausräumen.

Du vermutest oben, dass 209 prim in $K$ ist, nimmst aber dann die Bedingung, die für den Fall passt, dass 209 nicht prim in $K$ ist. Richtig ist natürlich und vermutlich hast du das auch gemeint: 209 ist nicht prim in $K$ und um das zu zeigen, müssen wir nach (2) die Existenz von Zahlen $a,b,\in K$ zeigen, sodass 209 zwar $ab$ teilt, aber weder Teiler von $a$ noch von $b$ ist.

Wegen $209=11\cdot 19$ und $209\mid ab$ müssen sich die beiden Primfaktoren $11$ und $19$ irgendwie auf $a$ und $b$ aufteilen, und zwar so, dass der eine $a$ teilt und der andere $b$, weil andernfalls $209$ ein Teiler von $a$ oder $b$ wäre und das wollen wir ja nicht. Wir können also o.B.d.A. annehmen, dass gilt

$a=11\cdot (...)$ und $b=19\cdot (...)$

wobei (...) in beiden Darstellungen für ein Produkt aus ungeraden Primzahlen steht, wobei darin die Anzahl der Primzahlen in der Restklasse 3 mod 4 jeweils ungerade(!) sein muss, um sicherzustellen, dass $a$ und $b$ auch wirklich in $K$ liegen und dabei, wie gesagt, außerdem noch $19\not\mid a$ und $11\not\mid b$ unbedingt beachtet werden muss.

Normalerweise würde ich an dieser Stelle abbrechen und dich raten lassen, wie daher der ominöse (...)-Anteil in $a$ und $b$ aussehen könnte, aber das hat in der Vergangenheit nichts gebracht und würde wohl auch diesmal nichts bringen. Also lass ich lieber die Katze gleich aus dem Sack: Mögliche Wahlen für $a$ und $b$, mit der die Sache hier dann funktioniert, wären z.B.

$\bullet \quad a=11\cdot 3,\ b=19\cdot 3$
$\bullet \quad a=11 \cdot 11, \ b=19\cdot 19$
$\bullet \quad a=11\cdot 5\cdot 7,\ b=19\cdot 17\cdot 19\cdot 29$

... und, und, und...

Wie du siehst, ist das alles sehr einfach und man braucht dafür wahrlich noch keinen Computer.  wink

Um die von dir ziterte Charakterisierung der Primelemente und irreduziblen Elemente von TomTom314, nämlich

2019-04-25 03:27 - juergen007 in Beitrag No. 3 schreibt:
Für ein p∈K gilt: p prim in K ⟺ p Primzahl in N, p irreduzibel in K ⟺ p prim in K oder p=p1p2 mit p1,p2≡3 mod 4 Primzahlen in N.

zu einem Abschluss zu bringen, müsste man also noch 2 Dinge machen:

1) Obige Charkaterisierung der irreduziblen Elemente von $K$ auch wirklich einmal zeigen, also die Ansätze, die es dazu schon gibt, zu einem mathematisch exakten Beweis verarbeiten.

2) Die Überlegungen, welche oben für $209$ angestellt wurden dahingehend verallgemeinern, dass diejenigen irreduziblen Element in $K$, welche das Produkt von zwei (nicht notwendig verschiedenen) Primzahlen $p_1,p_2\equiv 3 \mod 4$ sind, niemals auch Primelemente von $K$ sein können.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-26 18:26


2019-04-25 13:19 - weird in Beitrag No. 4 schreibt:

2) Die Überlegungen, welche oben für $209$ angestellt wurden dahingehend verallgemeinern, dass diejenigen irreduziblen Element in $K$, welche das Produkt von zwei (nicht notwendig verschiedenen) Primzahlen $p_1,p_2\equiv 3 \mod 4$ sind, niemals auch Primelemente von $K$ sein können.

Ja danke, was ich suchte war eine Methode, Elemente der art 209 =11*19  oder 103*263= 27089 die Produkt 2er 3 mod 4 primes irreduzibel in K auch prim in K sind.
Sie sind reduzibel in N a=11*19, aber irreduzibel in K, da es ja nur die eine Zerlegung in N gibt.

Pardon, Ich schreibe dass so ausfuehrlich multem aber wenig multi, viele Saetze und an sich etwas wenig essenz weil ich mit umformuliereun
der beiden Euklid lemmata in deustch Probleme habe.ich suche nicht den Beweis der 3 tomtom Zeilen.

Meine Frage ist eher:
Sind solche  p1p2 auch immer oder nie prim oder manachmal prim in K? Sie sind irreduzibel in K , da es ja nur die eine PrimzahlenZerlegung in N gibt,
 und auch in K kann es dann ja keine anderen geben, was ein Teilbeweis der Aequivalenz prim in N <=> prim in K  ist.

Wenn sich also b=11*19*m, m im in k, so zerlegen laesst, dass einer der Faktoren in allen denkbaren Zerlegungen von allen $m*209 = c*d*e*...$ eben sich nicht
 von 11 oder 19  teilen laesst, so ist 209 nicht prim.

Oder:
Kann man irgendein y=209m so darstellen $m*209 = c*d*e*...$, dass weder c noch d noch e noch .. von 209 geteilt werden? dann waere p nicht prim.
Tomtom sagt, alle diese $(4m-1)(4n-1)$ nummern sind irreduzibel.
Und weird sagt, alle diese $(4m-1)(4n-1)$ sind nicht prim, behauptest du das? Wir hatten schon 21,33,77,109 als Beispiel..
anderes Beispiel:
Wird in IRGENDEINER Zerlegung beliebiger $x=103*163*m=m\cdot 16789, m \in K = a\cdot b\cdot c\cdot d ,a,b,c,d \in K$ KEIN Teiler a,b,c,d von 103 oder 163 geteilt?
Dann 16789 nicht prim.

Andersherum:

Wird in JEDER  Zerlegung beliebiger $x=103*163*m, m \in K = a\cdot b\cdot c\cdot d ,a,b,c,d \in K$ mindestens  EIN Teiler a,b,c,d von 103 oder 163 geteilt?
Dann 16789 prim.

Das machst du ja hier:


$a=11\cdot (...)$ und $b=19\cdot (...)$

wobei (...) in beiden Darstellungen für ein Produkt aus ungeraden Primzahlen steht,
wobei darin die Anzahl der Primzahlen in der Restklasse 3 mod 4 jeweils ungerade(!) sein muss,
um sicherzustellen, dass $a$ und $b$ auch wirklich in $K$ liegen und dabei, wie gesagt, außerdem noch $19\not\mid a$ und $11\not\mid b$ unbedingt beachtet werden muss.

$\bullet \quad a=11\cdot 3,\ b=19\cdot 3$
$\bullet \quad a=11 \cdot 11, \ b=19\cdot 19$
$\bullet \quad a=11\cdot 5\cdot 7,\ ab=19\cdot 17\cdot 19\cdot 29$

Hier ist a=11 b=19 und Du suchst genau solche k,l,..so dass $19 \nmid a\cdot k \land 11 \nmid b\cdot l$, und $ak, bl \in K, a,k,b,l \in <4k-1>$.
Und findest auch 3 Lösungen: $\displaystyle a\cdot k= 7\cdot 35 =385 \in K, a\cdot k\cdot b\cdot l= 19\cdot  17\cdot 19\cdot 29 =177973 \in K$.

aber was beweist das?
es reicht mir ein Kommentar an ein Aussage von mir stimmt/falsch.






  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4700
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-04-27 13:10


2019-04-26 18:26 - juergen007 in Beitrag No. 5 schreibt:
2019-04-25 13:19 - weird in Beitrag No. 4 schreibt:

2) Die Überlegungen, welche oben für $209$ angestellt wurden dahingehend verallgemeinern, dass diejenigen irreduziblen Element in $K$, welche das Produkt von zwei (nicht notwendig verschiedenen) Primzahlen $p_1,p_2\equiv 3 \mod 4$ sind, niemals auch Primelemente von $K$ sein können.

[..]

Meine Frage ist eher:
Sind solche  p1p2 auch immer oder nie prim oder manachmal prim in K?

Diese Frage verstehe ich überhaupt nicht: In dem von dir selbst oben zitierten Teil hatte ich doch ganz klar geschrieben, dass die von dir genannten Produkte p1p2 niemals(!) auch Primelemente von $K$ sein können, und trotzdem fragst du ein paar Zeilen später, ob sie immer(?!), manchmal(?!) oder auch niemals Primelemente von $K$ sein können, geradeso, als hättest du den Sinn des obigen Satzes nicht wirklich erfasst.  eek

Wenn sich also b=11*19*m, m im in k, so zerlegen laesst, dass einer der Faktoren in allen denkbaren Zerlegungen von allen $m*209 = c*d*e*...$ eben sich nicht
 von 11 oder 19  teilen laesst, so ist 209 nicht prim.

Dieser Satz ergibt für mich überhaupt keinen Sinn bzw. ist alles, was daraus ablesen kann, einfach nur falsch. Zunächst ist nicht klar, ob das für alle $m\in K$ oder nur gewisse gelten soll, des weiteren kann ich ja immer die Zerlegung $11\cdot 19\cdot m\cdot 1$ hinschreiben, wo "einer der Faktoren", nämlich 1, weder durch $11$ noch durch $19$ teilbar ist und auch bei $m$ ist das hier nicht klar, zumindestens schließt du das nicht aus. Außerdem verstehe ich nicht, warum es bei dir immer mehr als 2 Faktoren sein müssen und nicht genau zwei, wie in unserer Definition von "nichtprim", die ich zur Erinnerung jetzt noch einmal (zum wievielten Male eigentlich?) hinschreibe:

$p\in K$ nicht prim: $\Leftrightarrow p=1 \ \lor\  \exists a,b\in K: p\mid ab \land p\not\mid a \land p\not\mid b$. (*)

Es geht bei der ganzen Sache also insbesondere darum, dass weder $a$ noch $b$ durch das Produkt $11\cdot 19$ teilbar sind, durch $11$ oder $19$ allein können sie (und müssen sie sogar!) sehr wohl teilbar sind.

Oder:
Kann man irgendein y=209m so darstellen $m*209 = c*d*e*...$, dass weder c noch d noch e noch .. von 209 geteilt werden? dann waere p nicht prim.

Dieses "irgendein" stört mich hier doch sehr, da man es in Richtung eines Allquantors missverstehen kann. Es wäre besser und unmissverständlich, du würdest hier (und auch weiter unten) schreiben "Gibt es ein y=209m mit...", damit klar ist, dass hier eigentlich die Existenz von so einem Vielfachen von 209 mit den angegebenen Eigenschaften gefordert wird.


Tomtom sagt, alle diese $(4m-1)(4n-1)$ nummern sind irreduzibel.
Und weird sagt, alle diese $(4m-1)(4n-1)$ sind nicht prim, behauptest du das?

In der Tat behaupte ich das und verweise dazu nochmals auf das Eingangszitat.


Wird in IRGENDEINER Zerlegung beliebiger x=103∗163∗m=m⋅16789,m∈K=a⋅b⋅c⋅d,a,b,c,d∈K KEIN Teiler a,b,c,d von 103 oder 163 geteilt?
Dann 16789 nicht prim.

[..]

Das machst du ja hier:


$a=11\cdot (...)$ und $b=19\cdot (...)$

wobei (...) in beiden Darstellungen für ein Produkt aus ungeraden Primzahlen steht,
wobei darin die Anzahl der Primzahlen in der Restklasse 3 mod 4 jeweils ungerade(!) sein muss,
um sicherzustellen, dass $a$ und $b$ auch wirklich in $K$ liegen und dabei, wie gesagt, außerdem noch $19\not\mid a$ und $11\not\mid b$ unbedingt beachtet werden muss.

$\bullet \quad a=11\cdot 3,\ b=19\cdot 3$
$\bullet \quad a=11 \cdot 11, \ b=19\cdot 19$
$\bullet \quad a=11\cdot 5\cdot 7,\ ab=19\cdot 17\cdot 19\cdot 29$

Hier ist a=11 b=19 und Du suchst genau solche k,l,..so dass $19 \nmid a\cdot k \land 11 \nmid b\cdot l$, und $ak, bl \in K, a,k,b,l \in <4k-1>$.
Und findest auch 3 Lösungen: $\displaystyle a\cdot k= 7\cdot 35 =385 \in K, a\cdot k\cdot b\cdot l= 19\cdot  17\cdot 19\cdot 29 =177973 \in K$.

aber was beweist das?

Tja, was beweist das? Im Sinne von unserer Definition (*) von "nicht prim" oben, beweist dies, dass $11\cdot 19$ eben nicht prim in $K$ ist, indem ich da wirklich Beispiele für $a$ und $b$ angegeben haben, wie sie dort gefordert werden.

Und ja, ich trau mich fast gar nicht zu fragen, tu's aber trotzdem: Wie könnten daher entprechenden Beispiele für $103\cdot 163$ konkret aussehen? "Konkret" heiß dabei, wirklich mit konkreten Zahlen, und nicht irgendwelchen Variablen $c,d,e,...$ zusammen mit irgendwelchen Bedingungen wie oben, sondern eben genauso, wie ich das am Beispiel $11\cdot 19$ oben vorgeführt habe.  wink



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-27 18:46


ja lassen wirs erst mal, Der Beweis p prim in K <=> prim in N
1 teil ist ziemlich klar.
Denn wenn r nicht prim in N ist dann schon gar nicht in K, es gibt fuer gewisse r aus N und K weder in dem einen noch in der andere monid eine PFZ.
Wenn r nicht prim in K dann schon gar nicht in N.
Das ist vielleicht zu loose formuliert, aber du verstehst was ich meine  smile
Und diese p1p2 mit p1 und p2 3 mod 4 Zahlen sind irreduzibel, und prim aber es duerfen aber echt nur 2 sein, weil p1p2p3 nicht in K waere und p1p2 mal p3p4 reduzibel in K.

Das ist jetzt zu locker formuliert aber ich habs jetzt etwas ueber  cool

Ich hatte noch Lust zu suchen ob es noch andere prime als p1p2 und prim in N gibt also eine schnelle Methode Primalitaet nachzuweisen. Wie macht man es in N wenn man nur die Lemmata von Euklid hat?
Man findet so was wie 36 aus dem man schliesst dass 2 und 3 prim sind.
das finden solcher ab mit p|a and p|b wird nach oben hin aufwendig.

Oder wie man generell PFZ s in allen monoiden, ringen  findet wo es ja nur eine PFZ gibt aber irreduzible nicht unbedingt prim sind.

danke smile
Ich rechne das mal an 103 und 163 nach aber nicht so bald..hatte echt die Idee fuern Programm.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4700
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-04-27 20:02


2019-04-27 18:46 - juergen007 in Beitrag No. 7 schreibt:
ja lassen wirs erst mal, Der Beweis p prim in K <=> prim in N
1 teil ist ziemlich klar.

Die Behauptung als solche stimmt, ob dir der Nachweis davon wirklich ganz klar ist, wage ich allerdings zu bezweifeln. Schauen wir uns deine Begründung doch einmal näher an:

Denn wenn r nicht prim in N ist dann schon gar nicht in K, es gibt fuer gewisse r aus N und K weder in dem einen noch in der andere monid eine PFZ.

Für welche $r\in \mathbb N^*$ gibt es deiner Meinung  nach denn keine PFZ? Das wäre ja dann glatt ein Widerspruch zum Fundamentalsatz der Zahlentheorie, wonach jede positive ganze Zahl sich als Produkt von Primzahlen schreiben lässt und diese Darstellung bis auf die Reihenfolge der Faktoren sogar eindeutig ist.  eek

Ne, diese Beweisrichtung

$r$ ist Primelement in $K \Rightarrow r$ ist auch Primelement in $\mathbb N^*$

geht eben m.E. nur über den Umweg, den wir schon bisher gegangen sind, nämlich

$r$ ist Primelement von $K \Rightarrow r$ ist irreduzibel in $K \Rightarrow r$ ist Primelement von $\mathbb N^*$ oder $r$ ist das Produkt von zwei Primzahlen $p_1,p_2$, die in der Restklasse 3 mod 4 liegen.

Es hilft nichts: Man muss für diese Beweisrichtung den zuletzt genannt Fall wirklich noch ausschließen, was aber nach allen schon geleisteten "Vorarbeiten" in dieser Richtung nicht wirklich schwer ist.

Wenn r nicht prim in K dann schon gar nicht in N.

Ja, dieser Beweisteil in obiger Äquivalenz ist wirklich trivial.

Ich hatte noch Lust zu suchen ob es noch andere prime als p1p2 und prim in N gibt also eine schnelle Methode Primalitaet nachzuweisen. Wie macht man es in N wenn man nur die Lemmata von Euklid hat?
Man findet so was wie 36 aus dem man schliesst dass 2 und 3 prim sind.
das finden solcher ab mit p|a and p|b wird nach oben hin aufwendig.

In dem multiplikativen Monoid $\mathbb N^*$ sind zunächst die irredziblen Elemente gerade die Primzahlen, denn die Irreduzibilität entspricht ja gerade der "klassischen" Definition von Primzahlen. Warum erfüllt eine Primzahl $p$ aber sogar die Bedingung

$\forall a,b\in \mathbb N^*: p\mid ab\Rightarrow p\mid a \ \lor \ p\mid b$

welche wie gesagt i.Allg. stärker ist als die Irreduzibilität? Ganz einfach: Entweder gilt $p\mid a$, dann wäre ja nichts zu zeigen, oder es gilt ggT$(p,a)$=1 und zusammen mit $p\mid ab$ folgt daraus nach dem Lemma von Euklid $p\mid b$.

Zusammengefasst kann man also sagen: In dem klassischen Monoid $\mathbb N^*$ stimmen die irreduziblen Elemente und die Primelemente überein. Das ist aber die ganz, ganz große Ausnahme! Gerade um sich dessen wirklich bewusst zu werden, ist die Betrachtung von anderen Monoiden, wie eben unser $K$, so ungemein lehrreich!  wink



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-07 16:29


Ich will noch mal das Beispiel 103*163 exerzieren.

$\displaystyle x=103$.
$\displaystyle y=163$.
$\displaystyle z=16789$.
$\displaystyle a=4x+1=433$.
$\displaystyle b=4y+1=653$.
$\displaystyle x*y=z=16789$.
$\displaystyle a*b=c=282749$.

Vermutung:
$\displaystyle 103*163 = 16789$ nicht prim $\in N$, und nicht in K.

aus dem Tomtom-kasten:


Für ein p∈K gilt:
a) p prim in K $\Leftrightarrow$ p Primzahl in N,
b) p irreduzibel in K $\Leftrightarrow$ p prim in K oder
c) p=p1p2 mit p1,p2≡3 mod 4 Primzahlen in N.

Für einen beliebige Zahl $\displaystyle n \in \IN$, die nicht irreduzibel in $\IN$ ist,
wissen wir schon sie ist erst recht nicht irreduzibel und auch nicht prim in K.

Und wenn es eine Zerlegung PFZ von $\displaystyle =103*163=16789$ gibt, so ist 16789 nicht prim in $\IN$, also
gibts auch keine andere Zerlegung von n=16789 in K also reduzibel in N und irreduzibel in K.

Bis auf die Ausnahme (c):  p irreduzibel in K $\Leftrightarrow$ p=p1p2 mit p1,p2≡(3 mod 4) Primzahlen in N.

Die Aequivalenz $\displaystyle k$ prim in K $\Leftrightarrow$ prim in N kann man in 2 Aussagen zerlegen.

1. $\displaystyle l$ ist nicht prim in $IN \Rightarrow$ nicht prim in $\displaystyle N$ leuchtet sofort ein.
2. $\displaystyle l$ ist nicht prim in K $\Rightarrow$ nicht prim in $\displaystyle N$ leuchtet mir nicht sofort ein.

(X)Könnte es Zahlen geben die nicht prim in K sind aber prim in N?

3. Es gibt offenbar n aus N die keine PFZ in K haben, aber eine eindeutige PFZ in N, wie im Beispiel 103*163=16789.

(Y) Dieses gilt angeblich NUR fuer die Fälle (c) oben.

Denn: Wir haben eine eindeutige PFZ von $\displaystyle 16789 \in \IN : 16789=103*163 \Rightarrow$, also nach (c) 16789 nicht prim in N.
Also auch nicht in K.

Aber gilt (2) nur für solche p1p2?
(Z) Beweis zu (2) und (3) hab ich nicht gesehen , oder uebersehen , oder sonstwas. pardon.

An sich ist nicht sofort klar, dass z.B. 16789 nicht prim in N, aber zerlegbar in p1p2-Zahlen der Art $3 \mod 4$ ist, und durch die Ausnahmeregelung(c),
wenn die stimmt, irreduzibel und prim oder nicht in K ist.

Die Ausnahmeregelung (c) will ich genauer betrachten, denn sie ist auch noch nicht bewiesen oder ich habs uebersehen.

Wir suchen also eine Zerlegung einer Zahl q in Faktoren $\displaystyle m*a*b = q = m(4k+1)\cdot(4l+1) = q \land m \nmid q \lor a \nmid q\lor b \nmid q$.

Um festzustellen, ob das "oder" in:

b)p irreduzibel in K $\Leftrightarrow$ p prim in K oder p=p1p2 mit p1,p2≡3 mod 4 Primzahlen in N.

zutrifft.

In einem Beispiel für diese p1p2 Zahlen, die reduzibel in N aber irreduzibel in K sind, will ich wissen ob sie auch prim in K sind oder nicht.

$\displaystyle x=103, y=163, z = xy=16789 , a=4k+1=433, b=4l+1=653, ab=c=16789$.

Ist nun $\displaystyle z = xy = 16789$ prim oder nicht in K?:
(Z) Es ist irreduzibel in K aber nicht irreduzibel in N, nicht prim in N.


Ich suche erstmal ein $\displaystyle k,l,a,b,mab=q $, so dass

$\displaystyle x \cdot y = z = (4k+1)\cdot(4l+1) =16kl+4l+4l+1 = m \cdot a\cdot b =m\cdot 16789$ ein vielfaches von z.
$\displaystyle x \cdot y = z = 4m(4kl+k+l)+1=16789, k,l \in N,  m \in K$.


$\displaystyle mab  \equiv -1 \mod 16789$
oder
$\displaystyle (4kl+k+l)\equiv 4179 \mod 16789$

Hier koennte man den chin.  Restsatz anwenden, weiss aber nicht wie.

gefunden durch Rechnung:
$\displaystyle k =         15, l = 4197$.
$\displaystyle a= 4k+1= 433, b= 4l+1 = 127273, ab=(4k+1)(4l+1)= m*16789, m=61$.

$\displaystyle (4kl+k+l) : 25603 \equiv 4179 \mod 16789$.

$\displaystyle 4(4kl+k+l)+1 = q = 1024129$.
$\displaystyle mab= (4k+1)\cdot(4l+1) = 1024129 \in K$

Es gibt also k,l so dass $\displaystyle m(4k+1)\cdot(4l+1), m \in K, k,l in N$ ein m-faches von ab ist.

$\displaystyle x\cdot y=z$.
$\displaystyle (4k+1) = a$.
$\displaystyle (4l+1) = b$.
$\displaystyle (4k+1)(4l+1) = 1024129 \equiv 0 \mod 16789$

$\displaystyle 16789|mab = 1024129$.
$\displaystyle m=61, x=103 y=163, a=61, b=16789$.

Damit $\displaystyle 16789 \mid 1024129$
aber

$\displaystyle 16789 \nmid  61$.
$\displaystyle 16789 \mid  16789$.
$\displaystyle (4k+1)(4l+1)= 61 \cdot 16789 = 1024129$ ist eine Zerlegung in K und N.

$\displaystyle 1024129 = 61 * 103 * 163 = 61 * 16789 = 1024129$.

Frage: Teilt 16789 1024129?  ja.
Frage: Teilt 16789 103? nein..
Frage: Teilt 16789 163? nein.
Frage: Teilt 16789 61? nein.
Frage: Teilt 16789 16789? ja.
ergo $\displaystyle p$ nicht prim in K, da
$\displaystyle 16789 \mid 1024129$, aber $\displaystyle 16789 \nmid 61$.

Das war jetzt nur eine etwas aufwendige Methode, um zu zeigen, dass ein bestimmtes Produkt 2 zufaellig gewaehlter
(3mod 4)- Zahlen nicht prim ist aber irreduzibel.  Ich habe noch ein paar andere Paare getestet.

Das beweist leider natürlich gar nichts...es zeigt dass es Fall (c) Zahlen gibt die (meist?) nicht prim in K sind.

1. Frage gibt es evtl aolche p1p2 Konstrukte, die prim sind in K?
2. Frage gibt es eine andere Art irreduzibler Zahlen in K die nicht prim sind in K?
3. Frage gibt es Beweise zu (X)?
4. Frage gibt es Beweise zu (Y)?
5. Frage gibt es Beweise zu (Z)?
J.





  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4700
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-05-07 21:03


2019-05-07 16:29 - juergen007 in Beitrag No. 9 schreibt:
Ich will noch mal das Beispiel 103*163 exerzieren.

$\displaystyle x=103$.
$\displaystyle y=163$.
$\displaystyle z=16789$.
$\displaystyle a=4x+1=433$.
$\displaystyle b=4y+1=653$.
$\displaystyle x*y=z=16789$.
$\displaystyle a*b=c=282749$.

Vermutung:
$\displaystyle 103*163 = 16789$ nicht prim $\in N$, und nicht in K.

Ja, dass diese Vermutung so stimmt, also dann eigentlich eine Behauptung ist, von der nur noch der - oder besser gesagt "dein" - Beweis fehlt, wissen wir ja schon. Wir müssen also zeigen, dass für $p= 103\cdot 163$ der Schluss

$p\mid ab \Rightarrow p\mid a \ \lor  p\mid b$

nicht allgemeingültig ist, also die Existenz von $a,b\in K$ nachweisen, sodass zwar $p\mid a\cdot b$, aber weder $p\mid a$, noch $p\mid b$ gilt. Hier noch einmal das allgemeine Konstruktionsprinzip dafür: O.B.d.A. können wir annehmen, dass

1. $a$ von der Form $a=103\cdot u$ ist, wobei $u \in \mathbb N$ in der Restklasse $3$ mod $4$ liegen muss und nicht durch $163$ teilbar sein darf

2. $b$ von der Form $b=163\cdot v$ ist, wobei $v \in \mathbb N$ in der Restklasse $3$ mod $4$ liegen muss und nicht durch $103$ teilbar sein darf

Die einfachste Möglichkeit, obige Bedingungen zu erfüllen, wäre einfach die Wahl von $u=v=3$, also dann $a=103\cdot 3=309$ und $b=163\cdot 3=489$, aber es gibt natürlich - und das im wahrsten Sinne des Wortes! - unendlich viele andere Möglichkeiten. Mit deinem $a=4x+1$ und $b=4y+1$ oben kann es aber schon deshalb nicht funktionieren, weil sie beide ihrer Form weder durch $103$, noch durch $163$ teilbar sind, also schon unsere allerste Grundvoraussetzung in 1. und 2. nicht erfüllen!


aus dem Tomtom-kasten:


Für ein p∈K gilt:
a) p prim in K $\Leftrightarrow$ p Primzahl in N,
b) p irreduzibel in K $\Leftrightarrow$ p prim in K oder
c) p=p1p2 mit p1,p2≡3 mod 4 Primzahlen in N.

Für einen beliebige Zahl $\displaystyle n \in \IN$, die nicht irreduzibel in $\IN$ ist,
wissen wir schon sie ist erst recht nicht irreduzibel und auch nicht prim in K.

Versuchen wir doch noch allgemein die Frage zu beantworten, warum die irreduziblen Elemente im Punkt c) oben nicht auch Primelemente von $K$ sind, indem wir exakt nach dem gleichen Muster wie oben für $103\cdot 163$ vorgehen. Wir benötigen $a,b\in K$, sodass

I. $a$ von der Form $a=p_1\cdot u$ ist, wobei $u \in \mathbb N$ in der Restklasse $3$ mod $4$ liegen muss und nicht durch $p_2$ teilbar sein darf

II. $b$ von der Form $b=p_2\cdot v$ ist, wobei $v \in \mathbb N$ in der Restklasse $3$ mod $4$ liegen muss und nicht durch $p_1$ teilbar sein darf.

Sei dazu $p_3\not\in\{p_1,p_2\}$ eine weitere Primzahl, die in der Restklasse $3$ mod $4$ liegt. So wie oben wählen wir dann wieder $u=v=p_3$, d.h., $a=p_1p_3$ und $b=p_2p_3$. Dann sind nämlich die Bedingungen

$p_1p_2\mid (p_1p_3)\cdot (p_2p_3)\ \land p_1p_2\not\mid p_1p_3 \ \land p_1p_2\not\mid p_2p_3$

klar erfüllt, denn es gilt ja $(p_1p_3)\cdot (p_2p_3)=(p_1p_2)\cdot p_3^2$ und z.B. würde aus $p_1p_2\not\mid p_1p_3$ sofort $p_2\mid p_3$, also der Widerspruch $p_2=p_3$ folgen.

Wenn du testen willst, ob du dieses einfache Konstruktionsprinzip für die Zahlen $a$ und $b$ wirklich verstanden hast, könntest du ja versuchen, speziell für $103\cdot 163$, wo wir oben einfach $p_3=3$ gewählt hatten, händisch noch andere und vielleicht auch komplizierte Beispiele zu finden oder auch ein Computerprogramm zu schreiben, das alle Paare $(a,b)\in K^2$ bis zu einer gewissen gewissen oberen Schranke $s$ für $a$ und $b$ findet.  wink



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-07 23:26


Ja vielen Dank!
Ich liebe solche Zahlenspiele:)
"Kurz" "ermittelt": Ist 114857 prim in N?

p1=331 und p2=347.
331 *347  = 114857 irreduzibel in K, reduzibel in N.

$\displaystyle 1024129 = 993 * 331 * 347 = 993 * 114857$.
Frage: Teilt 114857 1033713 = 993 * 1041 = 1033713? ja
Frage: Teilt 114857 993 = 3*331? nein
Frage: Teilt 114857 1041 = 3*347? nein

114857 nicht prim in N, aber irreduzibel in K.

Bei Höheren p1,p2 wird das Programm (Biginter, cmp_library) langsam, jaja so ist das nu mal gg...

Das andere muss ich noch paar mal lesen..
Aber was ist, wenn beide p1p2 nicht prim sind in N? Aber 3 mod 4 Zahlen aus N?

Beispiel:
Ist $\displaystyle 41817 =263*159 = 263*3*53$ irreduzibel oder sogar prim in N und K? Nein, denn
41817 reduzibel in N. Also ist 41817 nicht prim in N und damit auch erst recht nicht in K.

Beispiel
x = 423 is 3 mod 4 nicht prim in N und $\displaystyle \not\in K$.
y = 291 is 3 mod 4 nicht prim in N und $\displaystyle \not\in K$.

$\displaystyle 1024129 = 141 * 423 * 291 = 141 * 123093 = 59643 * 291 = 17356113\in K$.

291 und 423 nicht prim in N und
$\displaystyle 291\not\in K \land  423 \not\in K \land  141 \in K \Rightarrow 141 * 423 * 291 = 141 * 123093 = 17356113 \in K = 423 * 291 *141  = 423 * 41031 = 17356113 \in K$

Frage: Teilt 123093 123093 = 141 * 873 = 123093? ja
Frage: Teilt 123093 141? nein
Frage: Teilt 123093 873? nein

also  $\displaystyle 123093$ nicht prim in N. teilbar durch 3


Also gezeigt an einem Beispiel, dass auch das Produkt 2er (3 mod 4) Zahlen aus N, die nicht prim in N sind prim in K sein kann, was mich etwas verbluefft.

Interessant wären auch
$\displaystyle 6k+1$ - Ringe für k aus $\displaystyle IZ$ betrachten
Mit $\displaystyle <...,-35,-29,-23,-17,-11,-5,1,7,13,19,25,...>\in M$.
Wenn wir -11 etc auch als irreduzibel betrachten koennen im Sinne von nicht in 2 Nichteinheiten zerlegbar. Hier ist nur 1 Einheit.
Welche davon auch prim sind, was ja eine schaerfere Bedingung ist.
Was ich an sich suchte, war in dem anderen K-Monoid eine sichere, schnelle Methode zur Prim-element-feststellung.
Mit Euklid oder anderen Methoden?
Euklid ist nicht die optimale.
Auch hier gilt
1 x nichtprim in N =>x nichtprim in M.
2 y nichtprim in M =>y nichtprim in N.

1 ist leicht zu sehen, oben sind es nur -35 und 25.

2 hieße y wäre irreduzibel und hätte keine PFZ im M ohne 1. Das ist nicht trivial.
Sagt mir jemand ohne Programmierung auf Anhieb ob 6*3823+1 = 22939 irreduzibel und primelement in M ist?
In N ist 22939 irreduzibel das sehe ich aus einer Liste also prim aber in M?
Leichter ist wohl alle aus M die nichtprim in N sind auszusortieren. aber unelegant.

Oder bruteforce Zerlegung bei 31 angefangen durch alle kleineren bekannte prims in M bis zur sqrt(x). auch unelegant.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4700
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-05-08 11:12


Also versuchen wir's wieder einmal, "sine ira et studio" sozusagen...   wink  

2019-05-07 23:26 - juergen007 in Beitrag No. 11 schreibt:
Ja vielen Dank!
Ich liebe solche Zahlenspiele:)
"Kurz" "ermittelt": Ist 114857 prim in N?

p1=331 und p2=347.
331 *347  = 114857 irreduzibel in K, reduzibel in N.

$\displaystyle 1024129 = 993 * 331 * 347 = 993 * 114857$.
Frage: Teilt 114857 1033713 = 993 * 1041 = 1033713? ja
Frage: Teilt 114857 993 = 3*331? nein
Frage: Teilt 114857 1041 = 3*347? nein

114857 nicht prim in N, aber irreduzibel in K.

Dass 114857 nicht prim in dem Monoid $(\mathbb N^*,\cdot)$ ist, war ja von Anfang an klar, denn es ist ja in $\mathbb N^*$ wegen 114857 =331*347 nicht einmal irreduzibel. Und dass 114857 irreduzibel in $K$ ist, stimmt zwar, wurde aber hier nicht bewiesen und stand auch nie zur Debatte. Richtig ist, dass obige Argumentation zeigt, dass 114857 nicht prim in $K$(!) ist.

Bei Höheren p1,p2 wird das Programm (Biginter, cmp_library) langsam, jaja so ist das nu mal gg...

Man kann dieses Spiel unter Verwendung eines CAS mit beliebig großen Zahlen treiben, die Frage, die sich hier aufdrängt, ist aber: Warum sollte man das tun? Tatsächlich sollte man die involvierten Zahlen ja eher möglichst klein halten, sodass man die ganzen Rechnungen noch im Kopf bewältigen kann, aber die "Kernaussagen" trotzdem noch erhalten bleiben. Höchstens zweistellige Zahlen wie 9,21,33,49,57,77,... *) würden sich da zuallererst "anbieten", bei dir müssen es aber gleich Zahlen mit mindestens 6 Stellen wie 114857 sein! Was genau ist der "Erkenntnisgewinn" dabei?  eek


Aber was ist, wenn beide p1p2 nicht prim sind in N? Aber 3 mod 4 Zahlen aus N?

Beispiel:
Ist $\displaystyle 41817 =263*159 = 263*3*53$ irreduzibel oder sogar prim in N und K? Nein, denn
41817 reduzibel in N. Also ist 41817 nicht prim in N und damit auch erst recht nicht in K.

Ja, 41817 ist reduzibel in $\mathbb N^*$, viel wichtiger aber ist, dass es auch reduzibel in $K$(!) ist, wegen 41817=789*53. Da beide(!) Faktoren 789 und 53 in $K$ liegen und ungleich 1 sind, ist das ja eine nichttriviale Zerlegung in $K$! Deine Begründung "Also ist 41817 nicht prim in N und damit auch erst recht nicht in K" ist dagegen klar falsch. Wäre sie richtig, so könnte man sich den ganzen Aufwand, den wir bisher betrieben haben, um zu zeigen, dass die irreduziblen Elemente in $K$ "vom Typ p1p2" nicht prim sein können, glatt umsonst gewesen!


Beispiel
x = 423 is 3 mod 4 nicht prim in N und $\displaystyle \not\in K$.
y = 291 is 3 mod 4 nicht prim in N und $\displaystyle \not\in K$.

$\displaystyle 1024129 = 141 * 423 * 291 = 141 * 123093 = 59643 * 291 = 17356113\in K$.

291 und 423 nicht prim in N und
$\displaystyle 291\not\in K \land  423 \not\in K \land  141 \in K \Rightarrow 141 * 423 * 291 = 141 * 123093 = 17356113 \in K = 423 * 291 *141  = 423 * 41031 = 17356113 \in K$

Frage: Teilt 123093 123093 = 141 * 873 = 123093? ja
Frage: Teilt 123093 141? nein
Frage: Teilt 123093 873? nein

also  $\displaystyle 123093$ nicht prim in N. teilbar durch 3


Also gezeigt an einem Beispiel, dass auch das Produkt 2er (3 mod 4) Zahlen aus N, die nicht prim in N sind prim in K sein kann, was mich etwas verbluefft.

Ja, "verblüfft" war ich auch, als ich das las, aber wohl in anderer Weise als du! Du hast doch oben mithilfe deines Beispiels

$123093\mid 141\cdot 873\ \land 123093\not\mid 141\ \land \ 123093\not\mid 873$

gerade das genaue Gegenteil gezeigt, nämlich dass 123093 nicht(!) prim in $K$ ist. Tatsächlich hättest du das sogar viel "billiger" haben können, denn 123093 ist ja wegen 1230993=9*97*141 nicht einmal irreduzibel in $K$ und daher schon gar nicht prim!  eek

Ok, an dieser Stelle möchte ich dann doch lieber aufhören, um meinem eingangs aufgestellten Vorsatz nicht untreu zu werden...  cool

*) Speziell was die kleinste dieser Zahlen, nämlich 9, betrifft, ist ja eine schon früher an dich gestellte Frage noch immer offen: Warum ist 9 nur irreduzibel, aber nicht auch prim in $K$?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-08 15:47


ja pardon, "sine ira et studio" = („ohne Dankbarkeit und Ehrgeiz“) ??

na gut muss ja nicht  biggrin

Warum ist 9 nur irreduzibel, aber nicht auch prim in K?

Finde ab, so dass $9|ab \land 9 \nmid a \lor  9\nmid b, a,b \in K$

9=3*3. reduzibel in N, aber es gibt keine Zerlegung in $p=ab, a,b \in K, a,b \ne 1$, also 9 irreduzibel in K.

45 = 5 * 3 * 3 = 5 * 9.
Frage: Teilt 9 45 = 5 * 9? ja
Frage: Teilt 9 5 ? nein.
Frage: Teilt 9 9 ? ja.

ergo 9 nicht prim in K.
Thx




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4700
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-05-08 17:03


2019-05-08 15:47 - juergen007 in Beitrag No. 13 schreibt:
ja pardon, "sine ira et studio" = („ohne Dankbarkeit und Ehrgeiz“) ??

na gut muss ja nicht  biggrin

Wie kommst du auf "Dankbarkeit"? Das Zitat hat Tacitus seinen "Annalen" vorangestellt, welche er "ohne Zorn und Eifer" zu schreiben gedachte. Keine Ahnung, ob ihm das dann auch gelungen ist.  biggrin


Warum ist 9 nur irreduzibel, aber nicht auch prim in K?

Finde ab, so dass $9|ab \land 9 \nmid a \lor  9\nmid b, a,b \in K$

9=3*3. reduzibel in N, aber es gibt keine Zerlegung in $p=ab, a,b \in K, a,b \ne 1$, also 9 irreduzibel in K.

45 = 5 * 3 * 3 = 5 * 9.
Frage: Teilt 9 45 = 5 * 9? ja
Frage: Teilt 9 5 ? nein.
Frage: Teilt 9 9 ? ja.

ergo 9 nicht prim in K.

Wie leider zu erwarten, funktioniert dieses Beispiel nicht. Die erste Zerlegung 45=5*3*3 ist ja in $K$ ungültig, wegen $3\not\in K$, die zweite 45=5*9 funktioniert nicht, weil ja 9 ein Teiler, des zweiten Faktors ist.

Ich sag jetzt sonst nichts dazu, nicht einmal "sine ira et studio".  biggrin



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-08 18:20


2019-05-08 17:03 - weird in Beitrag No. 14 schreibt:

Ich sag jetzt sonst nichts dazu, nicht einmal "sine ira et studio". biggrin

Oh dass mus ja was ganz Böses sein not (sine ira et studio) = Mit Zorn oder Begeisterung!
Gerne

Moment noch:

9=3*3 also 9 reduzibel und nicht prim in N.
9 irreduzibel in K da nur =1*9 passt.

Lass jetzt die 3 raus dann:

$\displaystyle 45 = 5 * 9 \land  5,9,45 \in K$
Frage: Teilt 9 45 = 5 * 9? ja
Frage: Teilt 9 9 ? ja.
Frage: Teilt 9 5 ? nein.

Letzteres sagt uns das 9 nicht prim in K ist.
Es reicht, wenn in jeder beliebigen moeglichen Zerlegung von gewisser (!) c=a*b, a,b,c aus K, und hier gibt es nur eine moeglichen Zerlegung von c=45 gilt:
$\displaystyle p \nmid a \lor p \nmid b$.

c=81 waere nicht gegangen, da 9^2=81.
Aber jedes ander vielfache q=9k von 9, q keine Potenz von 9, $q,k \in K$ kann man so testen und wird zum selben Ergebnis kommen.

Alle anderen $\displaystyle l \in K = a\cdot b\cdot c\cdot ..$ die keine 9 als echten Teiler haben, werden zum selben Ergebnis kommen.
da $\displaystyle 9 \nmid a \land  9 \nmid b \land 9\nmid c ...$.

Es reicht das kleinste vielfache von 9  hier 45 zu betrachten oder.
117 ginge auch etc.




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4700
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-05-08 18:35


2019-05-08 18:20 - juergen007 in Beitrag No. 15 schreibt:
Oh dass mus ja was ganz Böses sein not (sine ira et studio) = Mit Zorn oder Begeisterung!

Nicht "mit" sondern im Gegenteil "ohne".


Frage: Teilt 9 45 = 5 * 9? ja
Frage: Teilt 9 9 ? ja.
Frage: Teilt 9 5 ? nein.

Letzteres sagt uns das 9 nicht prim in K ist.
Es reicht, wenn in jeder beliebigen moeglichen Zerlegung von c=a*b, a,b,c aus K, und hier gibt es nur eine moeglichen Zerlegung von c=45 gilt:
$\displaystyle p \nmid a \lor p \nmid b$.

Nicht $ p\nmid a \lor p \nmid b$, sondern $ p\nmid a \land p \nmid b$, also kann man das dann leider auch vergessen.   frown

Eigentlich sonderbar, denn in #10 hatte ich doch mit den Punkten I,II eine genaue Anleitung gegeben, wie die $a,b\in K$ für ein Gegenbeispiel zur Primalität aussehen müssen. Was genau ist dir daran nicht klar?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-08 18:59


2019-05-08 18:35 - weird in Beitrag No. 16 schreibt:

Nicht $ p\nmid a \lor p \nmid b$, sondern $ p\nmid a \land p \nmid b$, also kann man das dann leider auch vergessen.   frown

Eigentlich sonderbar, den in #10 hatte ich doch mit den Punkten I,II eine genaue Anleitung gegeben, wie die $a,b\in K$ für ein Gegenbeispiel zur Primalität aussehen müssen. Was genau ist dir daran nicht klar?

Nimm z.B. 36=2*2*3*3 = 2*18=3*12=4*9=6*6 in N.

In allen Faktorisierungen der 36 teilt 2 mind einen der  Faktoren der 36. Also 2 prim.
Es gilt: $2\mid 2 \land 2\mid 18 \land 2\mid 12 \land 2\mid 4 \land 2\mid 6$.

Also um 2 prim in N zu zeigen, müssen in allen Faktorisierungen der 36 in N ein Faktor von 2 geteilt werden.oder.

Was sagt das über die 4 in N aus?

In einer Faktorisierung in N von $36 =6*6: 4\nmid 6$ also 4 nicht prim in N.

In einer Faktorisierung in K von $45 =5*9: 9\nmid 5$ also 9 nicht prim in K.











  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4700
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-05-08 19:16


2019-05-08 18:59 - juergen007 in Beitrag No. 17 schreibt:
2019-05-08 18:35 - weird in Beitrag No. 16 schreibt:

Nicht $ p\nmid a \lor p \nmid b$, sondern $ p\nmid a \land p \nmid b$, also kann man das dann leider auch vergessen.   frown

Eigentlich sonderbar, den in #10 hatte ich doch mit den Punkten I,II eine genaue Anleitung gegeben, wie die $a,b\in K$ für ein Gegenbeispiel zur Primalität aussehen müssen. Was genau ist dir daran nicht klar?

nimm 36=2*2*3*3 = 2*18=3*12=4*9=6*6 in N.

In allen Faktorisierungen der 36 teilt 2 mind einen der  Faktoren der 36. Also 2 prim.
Immer gilt $2\mid 2 \land 2\mid 18 \land 2\mid 12 \land 2\mid 4 \land 2\mid 6$.

Also um 2 prim zu zeigen, muessen in allen Faktorisierungen der 36 ein Faktor von 2 geteilt werden.oder.

Moment jetzt bin ich durcheinander..was sagt das ueber 4 aus?

In einer Faktorisierung in N von $36 =6*6: 4\nmid 6$ also 4 nicht prim.

In einer Faktorisierung in K von $45 =5*9: 9\nmid 5$ also 9 nicht prim.

Ich sag dazu nur, dass 36 ja nicht einmal in $K$ liegt, also kann man den Rest dann wohl auch vergessen. Und ja, den Fehlversuch mit 45 hatten wir ja oben in #15 schon, bitte einfach meine Antwort darauf in #16 ansehen.  eek



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-09 01:33


2019-05-08 19:16 - weird in Beitrag No. 18 schreibt:
nimm 36=2*2*3*3 = 2*18=3*12=4*9=6*6 in N.


Also um 2 prim zu zeigen, muessen in allen Faktorisierungen der 36 ein Faktor von 2 geteilt werden.oder.

In einer Faktorisierung in N von $36 =6*6: 4\nmid 6$ also 4 nicht prim.

In einer Faktorisierung in K von $45 =5*9: 9\nmid 5$ also 9 nicht prim.

Ich sag dazu nur, dass 36 ja nicht einmal in $K$ liegt, also kann man den Rest dann wohl auch vergessen. Und ja, den Fehlversuch mit 45 hatten wir ja oben in #15 schon, bitte einfach meine Antwort darauf in #16 ansehen.  :-o

Ja, mach ich.

Ich habe die Euklid Methode, dass 2 prim in N, bzw. 4 nicht prim in N ist, extrapoliert auf die Erkenntnis, dass die 9 nicht prim in K ist die 5 wohl auch nicht. Stimmt das oder nicht? Wenn nicht, wo ist der Fehler?

Mein Beitrag 17 (etwas editiert) ist richtig!

Wenn meine Betrachtungen über 36,2 und 4 in N richtig sind (sind sie?), ich nutze Euklid version 1 (nach LinkPrime und irreduzible Elemente) für die 2 und version 2 für die 4 in N,
dann ist auch die 5,9, 45 Betrachtung in K mittels Version Euklid 2 für die 5,9,45 in K richtig.











  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4700
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2019-05-09 07:10


2019-05-09 01:33 - juergen007 in Beitrag No. 19 schreibt:
Ich habe die Euklid Methode, dass 2 prim in N, bzw. 4 nicht prim in N ist, extrapoliert auf die Erkenntnis, dass die 9 nicht prim in K ist die 5 wohl auch nicht. Stimmt das oder nicht? Wenn nicht, wo ist der Fehler?

Mein Beitrag 17 (etwas editiert) ist richtig!

Noch einmal: Was die Betrachtung von 36 in #17 betrifft, ist diese unzulässig, da 36 ja nicht von der Form 4k+1 ist und daher gar nicht in $K$ liegt. Dein anderes Argument geht so:

$9\mid 5\cdot 9$, aber $9\nmid 5 \Rightarrow 9$ ist nicht prim.

Das ist aber falsch, denn 9 teilt ja den zweiten Faktor 9 in dieser Zerlegung und das wäre in einem echten Gegenbeispiel zur Primalität natürlich verboten.

Ok, ich mach jetzt einfach dem grausamen Spiel ein Ende, indem ich hier die Lösung, oder besser gesagt, eine der unendlich vielen Lösungen angebe:

$9\mid 21\cdot 21$, aber $9\nmid 21$

9 teilt also hier 441(=21*21), aber keinen der beiden Faktoren 21. Das ist zugleich die kleinstmögliche Wahl von $a$ und $b$ in einem Beispiel

$9\mid a\cdot b$,  aber  $9\nmid a$  und(!!!) $9\nmid b$

Alle anderen Möglichkeiten für $a$ und $b$ erhältst du nach dem in #10 angegebenen Konstruktionsprinzip (I,II) dort, indem du $a=3u$ und $b=3v$ setzt, wobei $u$ und $v$ irgendwelche natürliche Zahlen sind, welche nicht durch $3$ teilbar sein dürfen, aber beide in der Restklasse von 3 mod 4 liegen. In meinem Beispiel oben hatte ich einfach $u=v=7$ gewählt, was wie gesagt die kleinste derartige Möglichkeit ist. Du hättest aber - bei deiner Vorliebe für "große" Zahlen - genausogut $u=55$ und $v=95$ nehmen können und es hätte mit $a=3u$ und $b=3v$ dann funktionert. Alles klar?  cool



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-09 14:22


2019-05-09 07:10 - weird in Beitrag No. 20 schreibt:
$9\mid a\cdot b$,  aber  $9\nmid a$  und(!!!) $9\nmid b$

Alle anderen Möglichkeiten für $a$ und $b$ erhältst du nach dem in #10 angegebenen Konstruktionsprinzip (I,II) dort, indem du $a=3u$ und $b=3v$ setzt, wobei $u$ und $v$ irgendwelche natürliche Zahlen sind, welche nicht durch $3$ teilbar sein dürfen, aber beide in der Restklasse von 3 mod 4 liegen. In meinem Beispiel oben hatte ich einfach $u=v=7$ gewählt, was wie gesagt die kleinste derartige Möglichkeit ist. Du hättest aber - bei deiner Vorliebe für "große" Zahlen - genausogut $u=55$ und $v=95$ nehmen können und es hätte mit $a=3u$ und $b=3v$ dann funktionert. Alles klar?  cool
OK
Ich was mit den diversen Quantoren $\displaystyle \forall. \exists, \mid, \nmid, \land, \lor$ durcheinandergeraten

Und wollte das Lemma von Euklid fuer mich an einem  Beispiel in N (!) 36 verifizieren, was ja auch richtig war:

aus der 36 in N sehen wir auch:$\displaystyle 36=1*36=2*18=3*12=4*9=6*6

\land 3| 18 \land 3 | 12 \land 3 | 9 \land 3 | 6$ also 3 prim in N.




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4700
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2019-05-09 15:28


2019-05-09 14:22 - juergen007 in Beitrag No. 21 schreibt:
Und wollte das Lemma von Euklid fuer mich an einem  Beispiel in N (!) 36 verifizieren, was ja auch richtig war:

aus der 36 in N sehen wir auch:$\displaystyle 36=1*36=2*18=3*12=4*9=6*6

\land 3| 18 \land 3 | 12 \land 3 | 9 \land 3 | 6$ also 3 prim in N.

Mal abgesehen davon, dass ich da überhaupt keinen Zusammenhang mit unserem Thema in diesem Thread sehe, ist auch dieser Schluss hier klar falsch! Würde man nämlich etwa dein Argument auf 27 und den Teiler 9 anwenden, so käme dabei heraus, dass in allen Zerlegungen von 27, nämlich

27=1*27=3*9

die 9 einen der der Faktoren teilt, genau wie in deinem Beispiel oben, aber kann man daraus schließen, dass 9 prim in $\mathbb N^*$ ist?  Offensichtlich nicht!  Oder habe ich da etwas missverstanden?  confused






  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-09 15:47


2019-05-09 15:28 - weird in Beitrag No. 22 schreibt:
2019-05-09 14:22 - juergen007 in Beitrag No. 21 schreibt:
Und wollte das Lemma von Euklid fuer mich an einem  Beispiel in N (!) 36 verifizieren, was ja auch richtig war:

aus der 36 in N sehen wir auch:$\displaystyle 36=1*36=2*18=3*12=4*9=6*6

\land 3| 18 \land 3 | 12 \land 3 | 9 \land 3 | 6$ also 3 prim in N.

Mal abgesehen davon, dass ich da überhaupt keinen Zusammenhang mit unserem Thema in diesem Thread sehe, ist auch dieser Schluss hier klar falsch! Würde man nämlich etwa dein Argument auf 27 und den Teiler 9 anwenden, so käme dabei heraus, dass in allen Zerlegungen von 27, nämlich

27=1*27=3*9

die 9 einen der der Faktoren teilt, genau wie in deinem Beispiel oben, aber kann man daraus schließen, dass 9 prim in $\mathbb N^*$ ist?  Offensichtlich nicht!  Oder habe ich da etwas missverstanden?  confused

Maybe ??

Vergiss mal K eben.

$27=1*27=3*9=3*3*3$
In allen möglichen Zerlegungen der 27 muss mind. ein Faktor die  9 teilen. Das ist nicht gegeben in 3*3*3!
9 nicht prim in N.







  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4700
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2019-05-09 15:55


2019-05-09 15:47 - juergen007 in Beitrag No. 23 schreibt:
2019-05-09 15:28 - weird in Beitrag No. 22 schreibt:
2019-05-09 14:22 - juergen007 in Beitrag No. 21 schreibt:
Und wollte das Lemma von Euklid fuer mich an einem  Beispiel in N (!) 36 verifizieren, was ja auch richtig war:

aus der 36 in N sehen wir auch:$\displaystyle 36=1*36=2*18=3*12=4*9=6*6

\land 3| 18 \land 3 | 12 \land 3 | 9 \land 3 | 6$ also 3 prim in N.

Mal abgesehen davon, dass ich da überhaupt keinen Zusammenhang mit unserem Thema in diesem Thread sehe, ist auch dieser Schluss hier klar falsch! Würde man nämlich etwa dein Argument auf 27 und den Teiler 9 anwenden, so käme dabei heraus, dass in allen Zerlegungen von 27, nämlich

27=1*27=3*9

die 9 einen der der Faktoren teilt, genau wie in deinem Beispiel oben, aber kann man daraus schließen, dass 9 prim in $\mathbb N^*$ ist?  Offensichtlich nicht!  Oder habe ich da etwas missverstanden?  confused

Maybe ??

Vergiss mal K eben.

$27=1*27=3*9=3*3*3$
In allen möglichen Zerlegungen der 27 muss mind. ein Faktor die  9 teilen. Das ist nicht gegeben in 3*3*3!
9 nicht prim in N.

Hm, darf ich dich - jetzt nur ganz vorsichtig - daran erinnern, dass auch in deinen Zerlegungen von 36 oben immer(!) nur zwei Faktoren vorkommen? Und genau an dieses Beispiel habe ich mich auch gehalten!  eek



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-09 18:32


Na gut..
Die $\displaystyle 45 \in K$ passt zwar nicht, aber dein 441=21^2 und 441 =9*41, 9∣441, aber 9∤21 beweist 9 nicht prim in K.

Beweis: 3 prim in N:
$\displaystyle 36= 2*2*3*3 = 2*18 = 2*2*9 = 2*6*3 = 4*3*3 = 3*12 = 4*9 = 6*6$.
Das sind glaub ich alle Zerleungen der 36 in Faktoren aus N.

In allen teilt die 3 einen der Faktoren oder?

Beweis 4 nicht  prim in N:

Themenstart: 2019-04-22 10:12    [Diesen Beitrag zitieren]
2019-04-16 19:24 - weird in Beitrag No. 20 schreibt:
(2) p∈K ist nicht prim:⇔p=1 ∨ ∃a,b∈K:p∣ab∧p∤a∧p∤b.

4 ist nicht 1 , aber es existieren $\displaystyle a=6,b=6, c=ab=36,a,b \in N: 4 \nmid 6$.

Ergo 4 nicht prim in N!

Es git also, auch in K nicht-primitivitaet von q zu beweisen, eine Zerlegung in $\displaystyle c=q\cdot r, c=ab \in K$ zu finden, in der keiner der Faktoren von c hier also weder a noch b von q geteilt werden,

$\displaystyle a \cdot b=c=q\cdot r$, aber $q \nmid  a \land q \nmid b$.

Bei hoeheren aus K koennte (und das ist der eigentliche Arbeitsschritt so ein x zu finden, es kann sehr hoch sein), so dass:
$\displaystyle x = a\cdot b\cdot c\cdot d\cdot e\cdot f\cdot \ldots \in K \lor N$ sein. Dann müssten wir eben alle Paarungen $\displaystyle k=ab*cdef,ac*bdef...$ betrachten.

Es reicht aber EIN Pärchen $\displaystyle a\cdot b = c = p\cdot q= $ zu finden, so dass (2) von Euklid erfuellt ist, wenn weder p|a noch p|b.
wenn diese ab gefunden ist, ist die angefangene Paarungsuntersuchung eines c (der so called premature investigation interrupt) nicht mehr nötig, ja verpönt, bä!

(X)Denn wenn wir irgendein $\displaystyle ab = 6*6=36=4*9\in N$  gefunden haben, so dass $\displaystyle 4 \nmid 6 \land 9 \nmid 6$, können ja müssen wir abbrechen mit dem Ergebnis 4 nicht prim und sogar 9 nicht prim, wegen $\displaystyle \exists a,b=6: p∣ab∧p∤a∧p∤b$.
Und noch ein Schritt weiter: Das (X) gilt in allen Monoiden und Ringwerweiterungen die nicht Dedekind sind!
oder was.
Hasta la Vista!








  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4700
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2019-05-09 19:59


2019-05-09 18:32 - juergen007 in Beitrag No. 25 schreibt:
Beweis: 3 prim in N:
$\displaystyle 36= 2*2*3*3 = 2*18 = 2*2*9 = 2*6*3 = 4*3*3 = 3*12 = 4*9 = 6*6$.
Das sind glaub ich alle Zerleungen der 36 in Faktoren aus N.

In allen teilt die 3 einen der Faktoren oder?

Ne, ich glaube, da hast du was missverstanden: Dass du jetzt plötzlich auch Zerlegungen von 36 in mehr als zwei Faktoren betrachtest, ist definitiv nicht das was ich wollte und der falsche Ansatz hier.  frown

Was man für einen Nachweis der Primalität (nicht Primitivität, was soll das hier sein?!) von 3 hier zeigen müsste ist eigentlich, dass für beliebige $a,b\in \mathbb N^*$ gilt, dass

$3\mid a\cdot b\Rightarrow 3\mid a\ \lor \ 3\mid b$

Hast du das oben wirklich gezeigt? Denk mal wenigstens 1 Minute darüber nach, dann geb ich dir im Kasten unten die Lösung:


Hast du natürlich nicht, denn deine $a,b\in \mathbb N^*$ sind eben gerade nicht(!) beliebig, sondern erfüllen bei dir die Nebenbedingung, dass deren Produkt immer 36 ist. Dass es also mit deinen speziellen $a,b$ funktioniert, beweist also noch nicht, dass es immer geht, also mit anderen $a,b$, deren Produkt eben nicht 36 ist!!!


Noch einmal zu meinem Beispiel oben, wo ich "bewiesen" habe, dass 9 eine Primzahl ist? Was genau ist an diesem Beweis "falsch"? Dass ich auch Produkte aus mehr als 2 Faktoren hätte betrachten müssen, wie du offenbar meinst? Gönn dir auch hier eine Denkminute, bevor du nachsiehst!


Natürlich hat dies mit der Anzahl der Faktoren nichts zu tun, die sollte man natürlich immer bei zwei belassen, um die Sache nicht unnnötig zu verkomplizieren.

Der Denkfehler liegt, so wie in dem Beispiel zuvor, ganz woanders. Diesmal ist es so, dass es mit allen $a,b$, deren Produkt 27 ist, auch wirklich funktioniert, aber das sind eben ganz spezielle $a,b$ und eben nicht beliebige. Nimmt man andere, wie z.B. $a=b=3$, geht es auf einmal nicht mehr, denn 9 ist zwar wieder Teiler des Produkts 3*3, teilt aber keinen der beiden Faktoren 3. Dies ist also dann der der echte Nachweis, dass 9 nicht prim in $\mathbb N^*$ ist!


Ich bin mir alles andere als sicher, ob ich wenigstens diese eine Verständnischwierigkeit im Zusammenhang mit der Definition eines Primelements ausräumen konnte, aber einen Versuch war es mir wert.  cool



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-10 09:27


2019-05-09 19:59 - weird in Beitrag No. 26 schreibt:
2019-05-09 18:32 - juergen007 in Beitrag No. 25 schreibt:
Beweis: 3 prim in N:
$\displaystyle 36= 2*2*3*3 = 2*18 = 2*2*9 = 2*6*3 = 4*3*3 = 3*12 = 4*9 = 6*6$.
Das sind glaub ich alle Zerleungen der 36 in Faktoren aus N.

In allen teilt die 3 einen der Faktoren oder?

Ne, ich glaube, da hast du was missverstanden: Dass du jetzt plötzlich auch Zerlegungen von 36 in mehr als zwei Faktoren betrachtest, ist definitiv nicht das was ich wollte und der falsche Ansatz hier.  frown

Was man für einen Nachweis der Primalität (nicht Primitivität, was soll das hier sein?!) von 3 hier zeigen müsste ist eigentlich, dass für beliebige $a,b\in \mathbb N^*$ gilt, dass

$3\mid a\cdot b\Rightarrow 3\mid a\ \lor \ 3\mid b$

Hast du das oben wirklich gezeigt? Denk mal wenigstens 1 Minute darüber nach, dann geb ich dir im Kasten unten die Lösung:


Hast du natürlich nicht, denn deine $a,b\in \mathbb N^*$ sind eben gerade nicht(!) beliebig, sondern erfüllen bei dir die Nebenbedingung, dass deren Produkt immer 36 ist. Dass es also mit deinen speziellen $a,b$ funktioniert, beweist also noch nicht, dass es immer geht, also mit anderen $a,b$, deren Produkt eben nicht 36 ist!!!


Noch einmal zu meinem Beispiel oben, wo ich "bewiesen" habe, dass 9 eine Primzahl ist? Was genau ist an diesem Beweis "falsch"? Dass ich auch Produkte aus mehr als 2 Faktoren hätte betrachten müssen, wie du offenbar meinst? Gönn dir auch hier eine Denkminute, bevor du nachsiehst!


Natürlich hat dies mit der Anzahl der Faktoren nichts zu tun, die sollte man natürlich immer bei zwei belassen, um die Sache nicht unnnötig zu verkomplizieren.

Der Denkfehler liegt, so wie in dem Beispiel zuvor, ganz woanders. Diesmal ist es so, dass es mit allen $a,b$, deren Produkt 27 ist, auch wirklich funktioniert, aber das sind eben ganz spezielle $a,b$ und eben nicht beliebige. Nimmt man andere, wie z.B. $a=b=3$, geht es auf einmal nicht mehr, denn 9 ist zwar wieder Teiler des Produkts 3*3, teilt aber keinen der beiden Faktoren 3. Dies ist also dann der der echte Nachweis, dass 9 nicht prim in $\mathbb N^*$ ist!




Was du da mit 3 und 9 machst versteh ich nicht.
Aber ich muss mir nochmal die Ruhe nehmen.
Aus 3*3=9 scliesse ich nur dass 3 prim ist und es sagt gar nichts ueber 9 aus.
Aber auch aus 720= 2^4*3^2*5  sehe ich dass 2,3,5 prim sind.

oder aus 35280 = 2^4*3^2*5*7^2 dass 2,3,5,7 prim sind.

 2∈N ist prim:⇔2≠1 ∧ ∀a,b∈K:2∣ab⇒2∣98∨2∣360 oder
 3∈N ist prim:⇔3≠1 ∧ ∀a,b∈K:3∣ab⇒3∣120∨∣294 oder
 5∈N ist prim:⇔5≠1 ∧ ∀a,b∈K:5∣ab⇒5∣120∨∣294 oder
 7∈N ist prim:⇔7≠1 ∧ ∀a,b∈K:7∣ab⇒7∣49∨7204 oder?


ganz beleibig dürfen die ab natuerlich sein, aber 35 sagt gar nichts darüber aus, ob 2 oder 3 prim oder nicht ist.
Es reicht aber eine wie die 36 zu finden um zu zeigen 2 und 3 prim.
wozu mehr Tests?
Deswegen muessen die x=ab schon geschickt gewaehlt sein.
x=2*3=6 wuerde auch reichen.








  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4700
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2019-05-10 11:15


2019-05-10 09:27 - juergen007 in Beitrag No. 27 schreibt:
Was du da mit 3 und 9 machst versteh ich nicht.
Aber ich muss mir nochmal die Ruhe nehmen.
Aus 3*3=9 scliesse ich nur dass 3 prim ist und es sagt gar nichts ueber 9 aus.

Noch einmal: Ein $p\ne 1$ in $\mathbb N^*$ ist genau dann prim, wenn für gilt
\[\forall a,b\in \mathbb N^*: p\mid a\cdot b\Rightarrow p\mid\ \lor \ p\mid b\quad (*)\] wobei die Betonung auf "für alle" liegt. Die Frage ist nun: Erfüllt 9 diese Bedingung, ja oder nein?

Ich sage nein, d.h., 9 ist nicht prim, und wähle für mein Gegenbeispiel $a=b=3$. Dann gilt zwar $9\mid 3\cdot 3$, aber 9 teilt keinen der (hier gleichen) Faktoren 3, was die Bedingung (*) für die Primalität von 9 klar verletzt. Was genau ist daran so schwer zu verstehen?   confused  


Aber auch aus 720= 2^4*3^2*5  sehe ich dass 2,3,5 prim sind.

oder aus 35280 = 2^4*3^2*5*7^2 dass 2,3,5,7 prim sind.

 2∈N ist prim:⇔2≠1 ∧ ∀a,b∈K:2∣ab⇒2∣98∨2∣360 oder
 3∈N ist prim:⇔3≠1 ∧ ∀a,b∈K:3∣ab⇒3∣120∨∣294 oder
 5∈N ist prim:⇔5≠1 ∧ ∀a,b∈K:5∣ab⇒5∣120∨∣294 oder
 7∈N ist prim:⇔7≠1 ∧ ∀a,b∈K:7∣ab⇒7∣49∨7204 oder?


ganz beleibig dürfen die ab natuerlich sein, aber 35 sagt gar nichts darüber aus, ob 2 oder 3 prim oder nicht ist.
Es reicht aber eine wie die 36 zu finden um zu zeigen 2 und 3 prim.
wozu mehr Tests?
Deswegen muessen die x=ab schon geschickt gewaehlt sein.
x=2*3=6 wuerde auch reichen.

Ich weiß jetzt auch nicht, was ich dazu noch sagen soll, den es ist hier ja schon alles gesagt worden und das gleich mehrmals.  eek

Für mich sieht es so aus, als hättest du den Wortsinn der Wendung "für alle $a,b$" nicht verstanden, denn du nimmst immer nur irgendwelche konkreten $a,b$ und ziehst daraus deine falschen Schlüsse. Das könnte man für ein Gegenbeispiel so machen, wie ich das oben in dem Nachweis, dass 9 nicht prim ist, gemacht habe, also um eine Allaussage zu widerlegen(!), aber niemals(!) um eine Allaussage zu beweisen. Das genau ist dein Trugschluss, den du leider immer und immer wieder aufs Neue hier begehst.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-10 14:58


ich bleibe ja selten stur aber hier:

(1) p∈K ist prim:⇔p≠1 ∧ ∀a,b∈N:p∣ab⇒p∣a∨p∣b.

Um p prim in N Zu beweisen, muessen wir tatsaechlich prinzipiell alle ab absuchen. Da dort steht:
p∣ab⇒p∣a∨p∣b,  muessen wir theoretisch alle Paare ab aus N finden in denen das vermutetet p prim einen der beiden Faktoren teilen koennte.

In einem ZPE Ring oder unserem Monoid muss dieses $ab$ aber vielfaches von p sein!
Die $6 =ab$ erfuellt 2∣6⇒p∣2∨p∣3. Dann ist auch damit schon 2 prim in N bewiesen!
Man kann auch weiter gehen mit vielfachen von 6:

36=2*2*3*3:

2∣36⇒ p|2a∨p|3b, und wenn p|2 dann erst recht p|2a oder p|3b, a,b aus N ad infinitum!

Muss man daher aber nicht! 6=2*3 reicht fuer 2 und 3 prim in N.

(2) p∈K ist nicht prim:⇔p=1 ∨ ∃a,b∈K:p∣ab∧p∤a∧p∤b.

Es reicht voellig der Existennachweis von irgendeinen Paar $c=ab$, das von p geteilt wird, in dem aber das vermutete p weder a nocb b teilt.
Und da gibt es viele Moeglichkeiten fuer ab:

Vermutung: 4 nicht und 9 nicht prim in einem Schritt:
also $36 =4*9=6*6=2*18=3*12=\ldots$ s.o.
Da muessen wir also schon alle denkbaren Zerlegungen auflisten!
gefunden: 4*9=6*6=36
weder 4 noch 9 teilen 6.
4 nicht prim in N.
9 nicht prim in N.
weil ∃6∈K:6∣36 ∧ 4∤6
weil ∃6∈K:6∣36 ∧ 9∤6, das reicht das 4 und 9 nicht prim in N sind.

Ok? wink

ETA:

Die Allaussage kann hier sehr eingeschraenkt werden.




[Die Antwort wurde nach Beitrag No.27 begonnen.]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4700
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, eingetragen 2019-05-10 16:04


2019-05-10 14:58 - juergen007 in Beitrag No. 29 schreibt:
ich bleibe ja selten stur aber hier:

(1) p∈K ist prim:⇔p≠1 ∧ ∀a,b∈N:p∣ab⇒p∣a∨p∣b.

Um p prim in N Zu beweisen, muessen wir tatsaechlich prinzipiell alle ab absuchen. Da dort steht:
p∣ab⇒p∣a∨p∣b,  muessen wir theoretisch alle Paare ab aus N finden in denen das vermutetet p prim einen der beiden Faktoren teilen koennte.

In einem ZPE Ring oder unserem Monoid muss dieses $ab$ aber vielfaches von p sein!

Sehr richtig! Wir müssen alle Produkte a*b betrachten, welche ein Vielfaches von p sind, was du bisher ja nie gemacht hast, sondern du hast dir immer nur spezielle Produkte, wie z.B. a*b=36 angesehen. Mal sehen, ob das im Folgenden anders ist!  cool


Die $6 =ab$ erfuellt 2∣6⇒p∣2∨p∣3. Dann ist auch damit schon 2 prim in N bewiesen!

Uh oh, nein, leider nicht! Da haben wir es schon wieder: Du schaust dir nur ein einziges(!) Produkt, nämlich a*b=6 an, konkret also a=2 und b=3, an, und da 2 einen der Faktoren teilt, ist für dich die Sache dann schon erledigt! Was ist bitte mit allen anderen Wahlen von a und b, wo ab gerade, aber nicht 6 ist? Diese Möglichkeiten lässt du wieder stillschweigend unter den Tisch fallen!


Man kann auch weiter gehen mit vielfachen von 6:

36=2*2*3*3:

2∣36⇒ p|2a∨p|3b, und wenn p|2 dann erst recht p|2a oder p|3b, a,b aus N ad infinitum!

Nein, sorry, ich muss mich korrigieren, du schaust dir doch tatsächlich noch eine zweite Möglichkeit an, nämlich a*b=36. Dir ist aber schon klar, dass es unendlich viele Möglichkeiten gibt und dass die Betrachtung von zweien davon ein bisschen arg wenig ist.  eek

Noch einmal mein "Beweis", dass 9 prim ist. Ich wähle dazu für ab ein Vielfaches von 9, nämlich ab=27. Nun gilt für sämtliche Zerlegungen

27=1*27=3*9

dass 9 einen der Faktoren der zerlegung teilt. Kann man daraus schließen, dass 9 prim ist?! Natürlich nicht, man müsste sich auch alle anderen Möglichkeiten für a*b ansehen, z.B. a=b=3, und dann sieht man (hoppla!), für die Zerlegung

9=3*3

ist 9 ein Teiler von ab, aber nicht von a oder b, d.h., 9 ist also doch nicht prim!

Fazit: Wenn es mit einzelnen Wahlen von a*b klappt, wie bei dir oben mit a*b=6 oder auch a*b=36, beweist das noch lange nicht, dass 2 prim ist, es könnte ja sein - genau wie in meinem Beispiel mit 9 - dass es irgendwann dann doch nicht klappt. Mit anderen Worten: Ein Beweis muss her, einzelne Beispiele können niemals beweisen, dass ein vorgegebenes p, wie bei dir p=2, prim ist, wohl aber können einzelne Beispiele beweisen, wie bei mir für p=9 mit a=b=3, dass p nicht prim ist!


Muss man daher aber nicht! 6=2*3 reicht fuer 2 und 3 prim in N.

(2) p∈K ist nicht prim:⇔p=1 ∨ ∃a,b∈K:p∣ab∧p∤a∧p∤b.

Es reicht voellig der Existennachweis von irgendeinen Paar $c=ab$, das von p geteilt wird, in dem aber das vermutete p weder a nocb b teilt.
Und da gibt es viele Moeglichkeiten fuer ab:

Vermutung: 4 nicht und 9 nicht prim in einem Schritt:
also $36 =4*9=6*6=2*18=3*12=\ldots$ s.o.
Da muessen wir also schon alle denkbaren Zerlegungen auflisten!
gefunden: 4*9=6*6=36
weder 4 noch 9 teilen 6.
4 nicht prim in N.
9 nicht prim in N.
weil ∃6∈K:6∣36 ∧ 4∤6
weil ∃6∈K:6∣36 ∧ 9∤6, das reicht das 4 und 9 nicht prim in N sind.

Ok? wink

Ja, um zu zeigen, dass 4 bzw. 9 nicht prim sind, reicht tatsächlich ein einziges(!) Gegenbeispiel, wie oben deine Wahl a=b=6. (Aus irgendeinem Grund scheint dir meine Wahl a=b=3 oben für 9 nicht zu gefallen, aber egal!  biggrin ) Das ist aber kein Widerspruch, sondern bestätigt nur alles, was ich oben gesagt hatte.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-11 04:52


Ja du hast recht
Ich verlasse das Forum schade das nicht alle sind wie du und vielleicht Buri und noch n paar andere.
gruesse ihn ganz dolle und "Gute Gesundheit!!":)
Juergen




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-11 09:14


2019-05-10 16:04 - weird in Beitrag No. 30 schreibt:


9=3*3

ist 9 ein Teiler von ab, aber nicht von a oder b, d.h., 9 ist also doch nicht prim!



in N?

ich gehe nur noch darauf ein weil ich staendig beleidigt werde, brauch ich ne Pause.

hat auch nie einer behauptet weil 9 das produkt 2er primzahlen ist

(2) p∈K ist nicht prim:⇔p=1 ∨ ∃a,b∈K:p∣ab∧p∤a∧p∤b.

existenz der ab fuer 9 ist erfuellt
verwechselst du or und xor?

was du mit 27 gemacht hast habe ich auch nicht so gemacht.

Du bist ok

Ciao

Mir gehts auch gesundheitlich nicht so





  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4700
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.33, eingetragen 2019-05-11 11:51


2019-05-11 09:14 - juergen007 in Beitrag No. 32 schreibt:
2019-05-10 16:04 - weird in Beitrag No. 30 schreibt:


9=3*3

ist 9 ein Teiler von ab, aber nicht von a oder b, d.h., 9 ist also doch nicht prim!



in N?

ich gehe nur noch darauf ein weil ich staendig beleidigt werde, brauch ich ne pause


hat auch nie einer behauptet weil 9 das produkt 2er primzahlen ist

(2) p∈K ist nicht prim:⇔p=1 ∨ ∃a,b∈K:p∣ab∧p∤a∧p∤b.

existenz der ab fuer 9 ist erfuellt
verwechselst du or und xor?

was du mit 27 gemacht hast habe ich auch nicht so gemacht.

Wenn man deine obige Bedingung (2) nur für ab=27 (oder allgemeiner $ab=3^k$ für $k\ge 3$) überprüft, könnte man zu dem Schluss kommen, dass 9 prim ist. Erst wenn man noch andere Möglichkeiten, wie ab=3*3 (oder auch dein ab=6*6) betrachtet, sieht man, ne, das stimmt doch nicht. (Dein Argument, dass 9 nicht prim ist, weil es wegen 9=3*3 nicht irreduzibel ist, ist in diesem Zusammenhang übrigens nicht zulässig, weil es obige Bedingung (2) ja gar nicht verwendet, obwohl es sonst natürlich stimmt!)

Auf den "nichtmathematischen" Teil deines Postings gehe ich hier natürlich nicht ein und würde dir auch dringend empfehlen ihn wegzueditieren. Du tust damit dem MP, aber vor allem dir selbst nichts Gutes! Wegen der angesprochenen gesundheitlichen Probleme wünsche ich dir jedenfalls, dass es dir bald wieder besser geht. Und ja, die Beschäftigung mit der Mathematik ist eine gute Sache und kann dabei helfen!  smile



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
MatheMatt
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2017
Mitteilungen: 28
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.34, eingetragen 2019-05-15 11:47


2019-05-11 11:51 - weird in Beitrag No. 33 schreibt:
2019-05-11 09:14 - juergen007 in Beitrag No. 32 schreibt:
2019-05-10 16:04 - weird in Beitrag No. 30 schreibt:


9=3*3

ist 9 ein Teiler von ab, aber nicht von a oder b, d.h., 9 ist also doch nicht prim!



in N?

(2) p∈K ist nicht prim:⇔p=1 ∨ ∃a,b∈K:p∣ab∧p∤a∧p∤b.

was du mit 27 gemacht hast habe ich auch nicht so gemacht.

Wenn man deine obige Bedingung (2) nur für ab=27 (oder allgemeiner $ab=3^k$ für $k\ge 3$) überprüft, könnte man zu dem Schluss kommen, dass 9 prim ist.

Hi!
Ich verfolge dass ein bisschen mit. Aber man muss ja alle Mögichkeiten der Faktorisierung von 27 betrachten dann existiert sicher eine 9*3 in der

(1) p∈N ist prim:⇔p≠1 ∧ ∀a,b∈N:p∣ab⇒p∣a∨p∣b.
 
$9|27 and 9 \mid 3 \lor 9|9$  is true!
das reicht aber nicht, weil obiges FORALL
(1) $\forall a,b$ wir auch 81 =3*3*3*3=9*9=3*27 betrachten koennen.
und weitere ab = vielfache von 9. eben forall!
Und wir werden schnell ab finden, in denen $9|ab and 9 \mid a \lor 9|b$ is true!
So dass 9 nicht prim ist.

27 ist schlecht gewaehlt um irgenwas zu beweisen. Andersherum:
(2) 9∈N ist nicht prim:⇔p=1 ∨ ∃ 3,3 ∈ N: 9∣9∧9∤3 ∧9∤3.
eine existente simpelste Zerlegung von 9 =3*3 reicht aus, dass 9∤3 und 9 nicht prim ist.

27 ist fuer Fall (1) und (2) nicht sehr geeignest.
auser zu sehen,dass 3 prim ist.

Ich denke ihr habt die ganze Zeit, ich hab jetzt nicht alles gelesen, das gleiche gemeint  wink



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4700
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.35, eingetragen 2019-05-15 13:36


2019-05-15 11:47 - MatheMatt in Beitrag No. 34 schreibt:
Hi!
Ich verfolge dass ein bisschen mit. Aber man muss ja alle Mögichkeiten der Faktorisierung von 27 betrachten dann existiert sicher eine 9*3 in der

(1) p∈N ist prim:⇔p≠1 ∧ ∀a,b∈N:p∣ab⇒p∣a∨p∣b.
 
$9|27 and 9 \mid 3 \lor 9|9$  is true!
das reicht aber nicht, weil obiges FORALL
(1) $\forall a,b$ wir auch 81 =3*3*3*3=9*9=3*27 betrachten koennen.
und weitere ab = vielfache von 9. eben forall!
Und wir werden schnell ab finden, in denen $9|ab and 9 \mid a \lor 9|b$ is true!
So dass 9 nicht prim ist.

Bitte beachten, dass 81=3*3*3*3 hier nicht(!!!) zugelassen ist, weil wir hier ja immer nur von zwei(!) Faktoren $a$ und $b$ in (1) ausgehen. (Wenn man hier plötzlich mehr als zwei Faktoren zulässt, kommt man damit "in des Teufels Küche", denn plötzlich ist damit wieder alles anders!) Bei nur zwei Faktoren können wir aber einen "Scheinbeweis" durchführen, dass 9 prim ist, da in allen Zerlegungen von 81, nämlich

81=1*81=3*27=9*9

9 einen der Faktoren teilt.


Ich denke ihr habt die ganze Zeit, ich hab jetzt nicht alles gelesen, das gleiche gemeint  wink

Haben wir nicht, denn genau so ein "Scheinbeweis" für die Primalität von 2 wurde hier geführt:

2019-05-08 18:59 - Ehemaliges_Mitglied in Beitrag No. 17 schreibt:
Nimm z.B. 36=2*2*3*3 = 2*18=3*12=4*9=6*6 in N.

In allen Faktorisierungen der 36 teilt 2 mind einen der  Faktoren der 36. Also 2 prim.
Es gilt: $2\mid 2 \land 2\mid 18 \land 2\mid 12 \land 2\mid 4 \land 2\mid 6$.

Also um 2 prim in N zu zeigen, müssen in allen Faktorisierungen der 36 in N ein Faktor von 2 geteilt werden.oder.

Nun wissen wir beide, dass 2 ja wirklich prim ist, aber das muss man anders zeigen, denn oben wurde die Gültigkeit der Primalitätsbedingung (1) ja nicht für alle $a,b\in \mathbb N^*$ gezeigt, sondern nur für die paar, deren Produkt gerade 36 ist. Also ging es hier um einen echten Trugschluss seitens des TS, und nicht darum, dass wir "im Grunde eh dasselbe gemeint hatten"!



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MatheMatt
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2017
Mitteilungen: 28
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.36, eingetragen 2019-05-15 19:43


dann mueeste man aber

(1) p∈N ist prim:⇔p≠1 ∧ ∀a,b∈N:p∣ab⇒p∣a∨p∣b.
erweitern um $a \ne b$.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4700
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.37, eingetragen 2019-05-15 19:49


2019-05-15 19:43 - MatheMatt in Beitrag No. 36 schreibt:
dann mueeste man aber

(1) p∈N ist prim:⇔p≠1 ∧ ∀a,b∈N:p∣ab⇒p∣a∨p∣b.
erweitern um $a \ne b$.

Warum das?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MatheMatt
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2017
Mitteilungen: 28
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.38, eingetragen 2019-05-19 19:01


2019-05-15 13:36 - weird in Beitrag No. 35 schreibt:
Nun wissen wir beide, dass 2 ja wirklich prim ist, aber das muss man anders zeigen, denn oben wurde die Gültigkeit der Primalitätsbedingung (1) ja nicht für alle $a,b\in \mathbb N^*$ gezeigt, sondern nur für die paar, deren Produkt gerade 36 ist. Also ging es hier um einen echten Trugschluss seitens des TS, und nicht darum, dass wir "im Grunde eh dasselbe gemeint hatten"!
na gut


(1) p∈N ist prim:⇔p≠1 ∧ ∀a,b∈N:p∣ab⇒p∣a∨p∣b.

(2) p∈K ist nicht prim:⇔p=1 ∨ ∃a,b∈K:p∣ab∧p∤a∧p∤b.

ist 2 prim?
Es wurden natuerlich alle Zerlegungen eines "geschickt" gewaehlten $ab=36=3^2*2^2=2*18=4*9=6*6$ gewaehlt in dem alle Zerlegungen einen faktor haben der von 2 geteilt wird.

relativ geschickt heisst vielfaches von 2!
6 haette auch schon gereicht.

denn wenn $\forall a \in N:2 \mid 4 \rightarrow p \mid 4a $.
denn wenn $\forall b \in N:2 \mid 9 \rightarrow p \mid 9b$.

Man koennet auch ungeschickt alle von vornherein nicht duch 2 teilbaren Zahlen wie 35 nehmen, das waere unnoetig. aus unserer Kenntnis der prim elemente in N.
Ausser wir wuerden ganz von vorn anfangen und wuesste nichts ueber die 35.
Das mag in Ringen anderer Klassenzahlen noetig sein aber nicht in N,
Interessant waere noch die Klassenzahl von dem o.a. K!? wohl auch nur 1.
Gibt es da andere als Hauptideale? wohl kaum.

Euklid gilt in aber jeder Struktur, in der $ab=ac \rightarrow b=c$

ich hab aber nich alles gelesen in dem thread.
blosswas euklid betrifft.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4700
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.39, eingetragen 2019-05-20 12:54


2019-05-19 19:01 - MatheMatt in Beitrag No. 38 schreibt:
ich hab aber nich alles gelesen in dem thread.
blosswas euklid betrifft.

Ja, insbesondere hast du meine Frage in #37, nämlich

2019-05-15 19:49 - weird in Beitrag No. 37 schreibt:
2019-05-15 19:43 - MatheMatt in Beitrag No. 36 schreibt:
dann mueeste man aber

(1) p∈N ist prim:⇔p≠1 ∧ ∀a,b∈N:p∣ab⇒p∣a∨p∣b.
erweitern um $a \ne b$.

Warum das?

offenbar nicht gelesen oder waren deine Ausführungen in #38 die Antwort darauf? Wenn ja, verstehe ich sie leider nicht.  frown



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
-->> Fortsetzung auf der nächsten Seite -->>
Seite 1Gehe zur Seite: 1 | 2  
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]