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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Eigenwerte » Diagonalmatrix
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Universität/Hochschule J Diagonalmatrix
MarinaG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-22


Hallo,

ich habe einen Vektorraum V mit dim(V)=n gegeben und soll folgendes zeigen:

Ein Endomorphismus f: V -> V ist diagonalisierbar genau dann wenn es eine Basis B = v1, v2, ... vn aus V gibt, so dass die Abbildungsmatrix MB(f) eine Diagonalmatrix ist.

Wenn f diagonalisierbar ist, gibt es also eine Basis aus Eigenvektoren. Weitere Erkenntnisse konnte ich leider noch nicht gewinnen.
Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben wie ich weiter an der Aufgabe vorgehen sollte?

Im Buch "Lineare Algebra" von Fischer stand zu dieser Beobachtung nur, dass der Beweis aus der Definition der Abbildungsmatrix folgen würde. Leider hilft mir das auch nicht recht weiter.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-22


Hey MarinaG und Willkommen!

Wie sieht denn die \(i-\)te Spalte von \(M_B(f)\) aus?



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MarinaG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22


Danke!

Die i-te Spalte müsste doch das Bild des i-ten Basisvektors aus B sein.
Also steht in der i-ten Spalte f(vi).

f ist zwar diagonalisierbar, aber ich sehe hier den Zusammenhang noch nicht.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-22


Naja, vielleicht meinst du das richtige, drückst es aber nicht richtig aus.

Wenn \(\mu_1,...,\mu_n \in \mathbb{K}\) die eindeutig bestimmten Zahlen sind, sodass \(f(v_i) = \sum\limits_{k=1}^{n} \mu_k v_k\) gilt, so besteht die \(i-\)te Spalte von \(M_B(f)\) aus dem Spaltenvektor \((\mu_1,..., \mu_n)^T\).
Das, was du sagst, ist gerade der Fall im Fall \(V=\mathbb{K}^n\) und \(v_i=e_i\), wobei \(e_i\) der \(i-\)te Einheitsvektor ist. Das ist aber nur ein Spezialfall.

Setzen wir nun voraus, dass die Vektoren \(v_1,...,v_n\) Eigenvektoren sind, wie sehen dann die \(\mu_k\) jeweils aus?



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MarinaG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22


Aufgrund von f(vi) = µi * vi für die Eigenvektoren, ist dann im i-ten Spaltenvektor jeweils nur das i-te Element ungleich 0 und zwar gleich µi.

Damit ergibt sich die Diagonalgestalt.

Vielen Dank!



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-22


Genau. Bedenke, dass du auch noch die umgekehrte Richtung zeigen musst, also wenn \(M_B(f)\) Diagonalgestalt hat, also für beliebiges \(i \in \{1,...,n\}\) die \(i-\)te Spalte nur an der \(i-\)ten Stelle einen Eintrag ungleich 0 hat, dann ist \(v_i\) ein Eigenvektor.



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