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Analysis » Funktionalanalysis » Wohldefinierte, stetige Abbildung
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Universität/Hochschule Wohldefinierte, stetige Abbildung
EllB99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-28


Hi,

ich soll aktuell folgendes zeigen:

Sei \(C^1[0,1]\) der \(\mathbb{R}\)-Vektorraum aller stetig differenzierbaren Funktionen \(f: [0,1] \to \mathbb{R}\) und sei \(\|f\|_{C^1}:=\|f\|_{[0,1]} + \|f'\|_{[0,1]}\) \(f \in C[0,1]\). Zeigen Sie:
a) \(\|\cdot\|_{C^1}\) definiert eine Norm auf \(C^1[0,1]\).
b) Durch die Vorschrift \((If)(x):=\int_0^x f(t)dt\) für \(x\in[0,1], f \in C[0,1]\) wird eine wohldefinierte, stetig lineare Abbildung \(I: (C[0,1], \|\cdot\|_{[0,1]}) \to (C^1[0,1], \|\cdot\|_{C^1})\) definiert.
[Dabei ist \(\|\cdot\|_{[0,1]}\) die Supremumsnorm auf \([0,1]\)]

Die a) habe ich denke ich hinbekommen, das folgt ja alles ziemlich schnell daraus, dass \(\|\cdot\|_{[0,1]}\) eine Norm ist, richtig?

Meine Probleme fangen jetzt bei der b) an.
Linearität war noch kein Problem.

Was genau muss ich denn bei Wohldefiniertheit zeigen?
Man weiß ja, dass für jede stetige Funktion das Integral existiert, aber was muss ich denn noch zeigen außer Existenz?

Zur Stetigkeit wollte ich benutzen, dass jede beschränkte lineare Abbildung stetig ist, also wollte ich zeigen, dass es \(c \geq 0\) gibt mit \(\|If\|_{C^1} \leq c\|f\|_{[0,1]}\) für alle \(f \in C[0,1]\).
Leider war das bisher noch nicht so zielführend.
Mein bisher Ansatz:
\(\|If\|_{C^1} = \|If\|_{[0,1]} + \|If'\|_{[0,1]} = \|If\|_{[0,1]} + \|f\|_{[0,1]} \) (denn \((If)' = f\))
Allerdings fällt mir ab da keine wirkliche Abschätzung mehr ein, weil ich nicht weiß, wie ich das Supremum des Integrals abschätzen soll.

Dankeschön für die Hilfe.

Lg EllB99



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-28


Huhu EllB99,

hier sollte die "grobe Kelle" durch die Abschätzung $\int_{[a,b]} f(t) \: dt \leq  |b-a| \cdot \mathrm{sup}_{t \in [a,b]} |f(t)|$ ausreichen.

lg, AK.



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EllB99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-28


Hi,

danke schonmal.

Wäre das dann etwa so?

\(\|If\|_{C^1} = \|If\|_{[0,1]} + \|If'\|_{[0,1]} = \|If\|_{[0,1]} + \|f\|_{[0,1]} = sup_{x\in[0,1]}\{|\int_0^xf(t)dt|: x\in[0,1]\}+\|f\|_{[0,1]} \leq sup_{x\in[0,1]}\{|x| \cdot sup\{|f(x)|: x\in[0,1]\}\}+\|f\|_{[0,1]} = sup\{|f(x)|: x \in [0,1]\} + \|f\|_{[0,1]}  = 2\|f\|_{[0,1]} \)

Und gibt es zur Wohldefiniertheit noch etwas zu zeigen?



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-28


Huhu,

eines Deiner "$=$" müsste m.E. ein "$\leq$" sein (wegen $|x|\leq 1$), außerdem erscheint Deine Schreibweise für das Supremum ein wenig redundant... Nun gut.

Wie wohl fühlst Du Dich denn selber mit der Wohldefiniertheit? Wo könnten denn Probleme liegen?

lg, AK.



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EllB99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-29


Hi,

danke schonmal für die Antwort :)

Du hast natürlich Recht, ich hab beim TeXen hier zwei verschiedene Notationen vermischt, wodurch sich das \(x \in [0,1]\) gedoppelt hat.

Also ich würde sagen, man muss nur zeigen, dass \(\int_0^x f(t)dt\) immer existiert und dass tatsächlich \((If) \in C^1[0,1]\), aber beides folgt ja direkt aus Sätzen aus Analysis 1 (mit der Stetigkeit).
Bei Wohldefiniertheit bin ich mir aber allgemein immer unsicher, was man zeigen muss...



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