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 Isomorphismus |
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ekkonly
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 |  Themenstart: 2019-05-07
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Guten Tag!
Wir besprachen heute in der Vorlesungen folgendes, was ich nicht so ganz nachvollziehen kann:
Wir betrachten zwei R-Vektorräume. Erstens P1, den VR aller auf [0,1] definierten reellen Polynomfunktionen vom Grad höchstens 1 mit der Lagrange- Basis B = (p0,p1) zu den Stützstellen x0=0 und x1=1. Zweitens C als R-VR bezüglich der Basis C = (1,i). Nun hat der Professor allgemein argumentiert, dass beide VR isomorph sind, da sie jeweils durch Koordinatisierung isomorph zu R^2 sind.
Kann mir vl. wer erklären wie man da so einfach drauf kommt?
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xiao_shi_tou_
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-07
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Hi.
Du hast zwei Isomorphismen
$\psi\colon V_1\overset{\sim}{\to} \R^2$
$\varphi\colon \C\overset{\sim}{\to} \R^2$, welche von der Wahl der Basen abhängen, d.h. für verschiedene Basen kriegst du verschiedene Isomorphismen.
Nun kannst du den einen mit dem Inversen des anderen verketten:
$V_1\overset{\psi}{\overset{\sim}{\to}}\R^2\overset{\varphi^{-1}}{\overset{\sim}{\to}} \C$.
\(\endgroup\)
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ekkonly
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-07
|
Uff... könntest du mir dass vielleicht an einem allgemeinen Beispiel erklären, macht irgendwie immer noch nicht so viel Sinn. Danke!
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xiao_shi_tou_
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-07
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Die Lagrange-Polynome sind $l_0=1-x$ und $l_1=x$.
Es ist leicht einzusehen, dass dies tatsächlich eine Basis von $V_1$ ist.
Der Isomorphismus $V_1\overset{\sim}{\to} \R^2$ schickt $a+bx$ auf $(\a_0,\a_1)^t$
wo $a+bx=\a_0l_0+\a_1l_1$ gilt. Also $\a_0=a+b,a_1=b$.
Der Isomorphismus $\R^2\overset{\sim}{\to}\C$ welcher durch die Standardbasis $(1,i)$ gegeben ist identifiziert $(x,y)^t\in \R^2$ mit $z=x+iy$.
Das bedeutet $V_1\overset{\sim}{\to} \C$ ist durch $a+bx\mapsto \a_0+a_1 i=a+b+bi$ gegeben.
Du kannst auch leicht er Hand nachrechnen, dass das ein Isomorphismus ist.
Zum Beispiel Additivität:
$(a_1+b_1x)+(a_2+b_2x)\mapsto (a_1+a_2+b_1+b_2)+(b_1+b_2)i=(a_1+b_1)+b_1 i+(a_2+b_2)+b_2 i$.
Jetzt sollte alles klar sein.
\(\endgroup\)
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ekkonly
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 01.05.2017
Mitteilungen: 67
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-07
|
Danke jetzt hab ichs geschallt!
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ligning
Senior 
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3555
Wohnort: Berlin
 | Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-07
|
Zwei K-Vektorräume sind genau dann isomorph, wenn sie die gleiche Dimension haben. (Beweisskizze: Man wähle jeweils eine Basis und eine Bijektion zwischen den Basen, dann erhält man durch lineare Fortsetzung einen Isomorphismus. Man kann das über den Umweg über Koordinaten machen, zumindest im endlich-dimensionalen Fall, muss man aber nicht.)
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2023-09-30 16:09 U <
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