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Universität/Hochschule J Differenzierbarkeit einer Abbildung
Zitronenlimonade
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-08


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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Hallo Zitronenlimonade,

du betrachtest den Limes $f\to f_0$, und zwar bezüglich der Supremumsnorm, also $f\to f_0\Leftrightarrow\Vert f-f_0\Vert_\infty\to0$.
Es ist also schon mal richtig, dass im Nenner $I(f)-I(f_0)-A(f-f_0)$ steht. Beachte aber, welche Norm dort steht. Der normierte Raum $F$ in der von dir zitierten Definition ist nämlich $\R$. Die Abbildung ist ja $I:C([a,b])\to\R$. Wenn nichts dazugesagt wird, dann mit der Standardnorm, also dem Betrag. Korrekt muss es also heißen:

$I:C([a,b])\to\R$ ist genau dann differenzierbar, wenn eine lineare Abbildung $A:C([a,b])\to\R$ existiert, sodass gilt:

\[\lim_{f\to f_0}\frac{\vert I(f)-I(f_0)-A(f-f_0)\vert}{\Vert f-f_0\Vert_\infty}=0\]
Beziehungsweise ausgeschrieben mit $I(f):=\int_a^bf^2(x)\d x$:

\[\lim_{f\to f_0}\frac{\left\vert \int_a^b f^2(x)\d x-\int_a^b f_0^2(x)\d x-A(f-f_0)\right\vert}{\Vert f-f_0\Vert_\infty}=0\]
Ohne Vorkenntnisse ist es vielleicht wirklich schwierig, ein passendes $A$ zu finden. Deshalb gebe ich mal einen Ansatz:

\[A(f):=\int_a^b g(x)f(x)\d x\]
mit $g\in C([a,b])$. Vergewissere dich nochmal, dass eine solche Abbildung linear ist und $C([a,b])\to\R$ abbildet. Dann suche nach einem $g$, sodass die zugehörige Abbildung $A$ die obige Grenzwertgleichung erfüllt.
\(\endgroup\)


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Zitronenlimonade
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-09


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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-09

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Das ist ja einfach nur $\int f(x)+f_0(x)\d x$. Dann wäre $A(f-f_0)=\int f(x)-f_0(x)+f_0(x)\d x=\int f(x)\d x$. Wenn du das oben einsetzt, dann wirst du sehen, dass der resultierende Ausdruck nicht gegen 0 konvergiert.

Ich würde dir empfehlen, erstmal den Ausdruck

\[\frac{\Big\vert \overbrace{\int_a^b f^2(x)\d x}^{I(f)}-\overbrace{\int_a^b f_0^2(x)\d x}^{I(f_0)}-\overbrace{\int_a^b g(x)[f(x)-f_0(x)]\d x}^{A(f-f_0)}\Big\vert}{\Vert f-f_0\Vert_\infty}\]
soweit es geht nach oben abzuschätzen, erstmal mit beliebigem $g$. Und dann, wenn nicht mehr weiter sinnvoll abgeschätzt werden kann, kannst du dir nochmal Gedanken darüber machen, wie $g$ aussehen muss, damit auch diese Abschätzung nach oben gegen 0 konvergiert.
\(\endgroup\)


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Zitronenlimonade
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-12


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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-12

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Im Prinzip bist du fertig. Damit jemand anderes, der es nachließt, nicht groß überlegen muss, solltest du aber noch erwähnen: Was ist nun die Ableitung $A$? Und wieso führt die Tatsache, dass $\lim_{\Vert h\Vert_\infty\to0}\frac{1}{\Vert h\Vert_\infty}\left\vert\int_a^b h^2(x)\d x\right\vert=0$ dazu, dass $\lim_{h\to0}\frac{\left\vert I(f_0+h)-I(f_0)-Ah\right\vert}{\Vert h\Vert_\infty}=0$ ist?
\(\endgroup\)


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Zitronenlimonade
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-13


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Vercassivelaunos
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Ja, das sieht gut aus. Bis auf eine Kleinigkeit bei der Notation. Du schreibst

\[\D I(f_0)=\int_a^b2f_0(x)\d x\]
Das ist eine Zahl, keine lineare Abbildung. Du könntest das $\d x$ an den Anfang ziehen, um anzudeuten, dass man noch eine Funktion hinten dranhängen darf/soll, also so:

\[\begin{align*}&\D I(f_0)=\int_a^b\d x2f_0(x)\\
&\D I(f_0)(h)=\int_a^b\d x2f_0(x)h(x)\end{align*}\]
Eine unmissverständliche Notation wäre aber eher etwas in Richtung $\D I(f_0):C([a,b])\to\R,~h\mapsto\int_a^b2f_0(x)h(x)\d x$.
\(\endgroup\)


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Ah okay! Vielen lieben Dank für deine Hilfe. :D



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