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Universität/Hochschule Äußere Ableitung
Jiyoung98 Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Mitglied seit: 11.05.2019, Mitteilungen: 1
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Themenstart: 2019-05-11

Hallo! Entschuldigen mein schlechter Deutsch, ich bin verzweifelt. Freundin hat mir erzählt von Matheplanet. Ich habe Aufgabe mit Lösung:



Ich kapiere erste Zeile der Lösung, Definition von Äußere Ableitung. Zweite kapiere ich nicht. Wieso ist d(x^2/y)=-(x^2/y^2)? Wieso wird mit y abgeleitet und nicht x? Dritte Zeile kapiere ich nicht auch. Kann jemand helfen? Ich habe Prüfung bei Dienstag:/
Danke für lesen.
Jiyoung




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Kuestenkind Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 12.04.2016, Mitteilungen: 1858
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-11

Huhu Jiyoung98,

herzlich willkommen auf dem Planeten!

1. \(\dd\) ist linear:

\(\dd (\alpha + \beta) = \dd \alpha + \dd \beta\) für Differentialformen \(\alpha, \beta\)

\(\dd \left( r \alpha \right) = r ~ \dd \alpha\) für reelle \(r\) und Differentialformen \(\alpha\)


2. Für \(\alpha = f ~ \dd x \wedge \dd y \wedge \ldots\) , wobei \(f\) vom Grad 0, also eine Funktion ist, gilt:

\(\dd \left( f~\dd x \wedge \dd y \wedge \ldots \right) = \dd f \wedge \dd x \wedge \dd y \wedge \ldots\)


3. Für Differentialformen \(f\) vom Grad 0, also Funktionen, gilt:

\(\dd f = \frac{\partial f}{\partial x}~\dd x + \frac{\partial f}{\partial y}~\dd y + \ldots\)

Dabei darf man mit \(\wedge\) distributiv bezüglich \(+\) rechnen. Beim Vertauschen zweier Faktoren ändert das Dachprodukt das Vorzeichen und bei gleichen Faktoren verschwindet es, also \(\dd x \wedge \dd x = \dd y \wedge \dd y = 0 \, , \ \ \dd y \wedge \dd x = - ~\dd x \wedge \dd y\)

Hier beginnst du mit der Linearität

\(\dd \left( \frac{x^2}{y}~\dd x - \frac{x}{y^2}~\dd y \right) = \dd \left( \frac{x^2}{y}~\dd x \right) - \dd \left( \frac{x}{y^2}~\dd y \right)\)

Auf jeden der Summanden kannst du nun die Regel 2. anwenden. Und dann auf jede der Funktionen die Regel 3.  Ich zeige dir das mal für den ersten Summanden.

\( \dd \left( \frac{x^2}{y}~\dd x \right)=\dd \left(\frac{x^2}{y}\right) \wedge \dd x=\left(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x^2}{y}\right) \dd x +\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^2}{y}\right) \dd y\right) \wedge \dd x=\ldots\)

Can you take it from here?
 
Gruß,

Küstenkind



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