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Analysis » Funktionalanalysis » Funktionalanalysis: Es existiert genau eine stetig diff.bare Lösung
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Universität/Hochschule Funktionalanalysis: Es existiert genau eine stetig diff.bare Lösung
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-12


Hallo alle zusammen,

hier die Aufgabe: Gegeben sei das AWP (Anfangswertproblem)

$$x'(t) = f(t, x(t)), \quad x(0) = x_0 \in \mathbb{R}$$, wobei $f: [0, T] \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ stetig sei und eine Konstante $L > 0$ existiere mit $$|f(t,x) - f(t,y)| \leq L |x-y| \quad \forall t \in [0,T], \quad x,y\in \mathbb{R}$$. Benutzen Sie Aufgabe $\dots$, um zu zeigen, dass $\exists !$ stetige diff.bare Funktion $x: [0,T] \rightarrow \mathbb{R}$ gibt, die das AWP löst.

Aufgabe $\dots$ kann hier, Beitrag Nr. 7, gefunden werden.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Die gegebene Bedigung erinnert ja sehr stark an die Lipschitz-Stetigkeit, außer dass die Abbildung $f$ hier von zwei reellen Variablen abhängt.

Um ehrlich zu sein, weiß ich nicht ganz, wie ich hier anfangen soll, weshalb ich mich über einen etwas längernen Ansatz sehr freuen würde.

Wir hatten auf einem vorherigen Blatt, dass gilt: $$x'(t) = f(t, x(t)) \Leftrightarrow x(t) = x_0 + \int_{0}^{t}f(\tau, x(\tau)) d\tau$$ gilt.
(Da sollten wir mit dem Satz von Arzela-Ascoli lokale Lösbarkeit zeigen.)


Gruß
Neymar



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-13


Guten Abend,

da ich eigentlich nie mit Differentialgleichungen gearbeitet habe, interessiert es mich ja auch:
Ich würde den Raum der stetig differenzierbaren Funktionen von $[0,T]$ nach $\mathbb{R}$ mit $X$ bezeichnen. Das ist meines Wissens ein Banachraum, weil $[0,T]$ kompakt ist (vgl wiki ). Ein Element $x\in X$ ist also die Lösung des AWP, wenn $x(t)=x_0 + \int_0^t f(\tau,x(\tau))d\tau=:h(x)(t)$, also $h$ soll eine Funktion von $X$ nach $X$ sein, und $h$ hat die Eigenschaft, dass gerade die Fixpunkte von $h$ die Lösungen des AWP's sind. Aus dem Fixpunktsatz von Banach würde dann die Aussage folgen, also musst du für die Funktion $h\colon X\to X$ die Voraussetzungen des Satzes nachweisen. Hilft dir das schon?

Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-14


Hey Creasy,

so, ich habe mir das mal eben ein bisschen überlegt. Also ja, dein Beitrag hat mich auf jeden Fall in die richtige Richtung ,,gestupst", vor allem folgender Satz von dir hat mir einen ,,Aha"-Moment gegeben:


Ein Element $x\in X$ ist also die Lösung des AWP, wenn $x(t)=x_0 + \int_0^t f(\tau,x(\tau))d\tau=:h(x)(t)$, also $h$ soll eine Funktion von $X$ nach $X$ sein, und $h$ hat die Eigenschaft, dass gerade die Fixpunkte von $h$ die Lösungen des AWP's sind.


(Darauf muss man ja erst einmal kommen! ;-) )
Ich bin mir aber nicht so ganz sicher, um ehrlich zu sein, ob der BNF (Banach'scher Fixpunktsatz) wirklich die Antwort hier erst, denn im Hinweis wird explizit erwähnt, dass man die Aufgabe $\dots$ verwenden soll, wo aber eine Metrik verwendet wurde. Hier bin ich mir aber nicht so ganz sicher, welche Metrik gemeint ist bzw. sein soll.

Anyway, wir besprechen die Aufgabe morgen evtl. in der Ü-Gruppe, vielleicht sende ich die Lösung (oder Idee). :-)
 

Gruß
Neymar






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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-14


Hey

Tatsächlich sollte dieser Einwand ja keiner sein, denn wie ich erwähnte ist der Raum der stetig diffbaren Funkionen hier ein Banachraum bzgl. einer gewissen Norm (siehe Wiki). Und diese Norm induziert in natürlicher Weise eine Metrik: $d(x,y)=|x-y|$.

Du kannst ja zumindest mal verraten, ob der Ansatz der richtige gewesen wäre :)
Grüße



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Hallo Creasy und Neymar,

man kann den Satz durchaus mit dem BFS beweisen. Nach Überfliegen meines damaligen Ana2-Skriptes liegt dabei der Trick darin, sich eine Norm zu definieren, bezüglich deren Metrik $h$ eine Kontraktion ist, und die zur Supremumsnorm äquivalent ist. Dann kann man mit dem BFS zeigen, dass die Folge bezüglich der selbstdefinierten Norm gegen einen Fixpunkt konvergiert, da der Raum wegen der Normäquivalenz auch bezüglich der selbstdefinierten Norm ein Banachraum ist. So oder so ähnlich zumindest.
\(\endgroup\)


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