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Zahlentheorie » Primzahlen - sonstiges » ... eine zwei-dimensionale Sicht auf (unendlich viele ?!) Primzahlen, -Zwillinge und -Vierlinge !
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Kein bestimmter Bereich ... eine zwei-dimensionale Sicht auf (unendlich viele ?!) Primzahlen, -Zwillinge und -Vierlinge !
PriMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-17


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PriMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-10


Hallo nochmal,
da wikimedia leider meine letzten Graphiken gelöscht hat möcht ich diese hier direkt verlinken:

Emptiness in prime divisor plane


Emptiness in twin prime divisor plane


Emptiness in prime quadrupel divisor plane


Groth of emptiness


Viele Grüße !
PriMath



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-11


2019-05-17 15:15 - PriMath im Themenstart schreibt:
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Naja, es könnte dein Weltbild ins Wanken bringen, wenn ich dir sage, dass das einfach nicht stimmt.  😁

Ok, der Reihe nach: Du behauptest also implizit, dass die für alle reellen Zahlen $x>0$ definierte Funktion
\[f(x)=x\prod_{p\le\sqrt x}(1-\frac1p)\quad (x>0)\] wobei hier $p$ alle Primzahlen bis zur angegebenen Schranke durchläuft, eine untere(!) Schranke für die "Primzahlzählfunktion" $\pi(x)$ ist, welche die Anzahl aller Primzahlen $p\le x$ angibt. Das ist aber klar falsch!  😮

Nach dem Satz von Mertens (s. hier, Punkt (5)) in Verbindung mit dem Primzahlsatz (s. hier) gilt nämlich
\[\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{\pi(x)}=2\exp(-\gamma)\approx 1.12\] d.h., deine Funktion $f(x)$ überschätzt $\pi(x)$ asymptotisch gesehen um etwa 12%. Wenn du es nicht glaubst, dann überprüf das doch einfach mal für einen etwas größeren Wert von $x$, sagen wir mal $x=700^2$.  Wenn es ein Problem damit geben sollte, so helfe ich dir gerne aus.  😉



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-11


@weird
Es ist bewundernswert, wie du da noch durchblickst!





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”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-11


Wenn mein Progrämmchen stimmt, befinden sich im Intervall $[1,223^2]$ insgesamt 5106 Primzahlen. Die in #1 genannte Abschätzung ergibt aber bereits 5119 Primzahlen und ist somit nur für $p<223^2$ zutreffend.


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Gruß haegar



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-11


Hi,

da ich ja namentlich erwähnt werde... Ich nehme an, dass sich PriMath (cooler Nickname übrigens!) auf meinen Artikel Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet bezieht.

Ich hatte seinerzeit auch versucht eine  Beweis für die Unendlichkeit der PZ aus dem Modell abzuleiten, habe aber keine Argumente finden können.

Sich darüber Gedanken zu machen, ist jedoch immer lobenswert. Fehlschlüsse sollte man dann aber, wenn auch von viel Enttäuschung begleitet, akzeptieren.

Und Jeffrey Ventrella's Vorstellung und Analyse des Modells findet man hier unter "visual math - Divisor Plot".

Hier noch ein kurzer Artikel zu dem ich aber nichts sagen kann: Analytical Representations of Divisors of Integers. Vielleicht ganz interessant.

Gruß, Slash


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Bound to be disappointing so why wait?



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-09-11


2019-09-11 14:19 - haegar90 in Beitrag No. 4 schreibt:
Wenn mein Progrämmchen stimmt, befinden sich im Intervall $[1,223^2]$ insgesamt 5106 Primzahlen. Die in #1 genannte Abschätzung ergibt aber bereits 5119 Primzahlen und ist somit nur für $p<223^2$ zutreffend.

Wenn du dabei auf der Suche nach einem möglichst kleinen Gegenbeispiel im Bereich der Quadratzahlen $k^2,\ k=2,3,4,...$ warst, so wird man sogar schon bei $216^2$ erstmals fündig. Danach setzt sich das eine Weile fort, aber mit Unterbrechungen und erst ab $k=286$ scheint dann mit den in #2 eingeführten Bezeichnungen durchgängig $f(k^2)>\pi(k^2)$ zu gelten.



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PriMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-12


Hallo MathFans !

@Slash:
Ja, genau ! Danke für die Links!

@weird:
Keine Sorge, meinem 'Weltbild' geht's gut :-)
Ich halte es mit H.D. Thoreau:
... Statt [beliebige Variablen] gebt mir WAHRHEIT ! ...

Die asymptotische Überschätzung der Pi-Funktion (durch die Produkt-Funktion  (1 - 1/p)) kannte ich tatsächlich noch nicht.

Mit meiner letzen Graphik bin ich aber noch einen Schritt weiter gegangen (hab ich leider nicht klar formuliert).

Die (obere) VIOLETTE Kurve der geschätzten Anzahl von Primzahl bis zur einer Grenze hab ich wie folgt ermittelt(@weird: kannst du vielleicht die Produkt-Formel dazu beisteurn ?):

f(x) =  (1-1/2)*(1-1/3)  *(1-1/5)*(1-1/7)...*(1-1/25)*...*(1-1/35)*...

Mit anderen Worten - ich hab NICHT NUR die Primzahlen verwendet, sondern ALLE NACHBARN (z.B. auch die 25 und die 35 u.s.w.) des Vielfachen von 6 (also, 6n-1, 6n+1, und am Anfang die 2 und 3).

Anmerkungen und Fragen:
--> Es sollte doch möglich sein zu beweisen, dass diese Funktion DIVERGIERT?!
--> Falls zutreffend: Kann bewiesen werden, dass DIESE Funktion eine untere Schranke in Bezug zur Pi-Funktion darstellt ?
... und wenn das klappt könnte man die Technik (via verdichteter Teiler-Flächen) doch auch auf Zwillinge und weitere Tupel anwenden ?!  :-)

Viele Grüße !
PriMath



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-09-13


2019-09-12 21:25 - PriMath in Beitrag No. 7 schreibt:
Mit meiner letzen Graphik bin ich aber noch einen Schritt weiter gegangen (hab ich leider nicht klar formuliert).

Die (obere) VIOLETTE Kurve der geschätzten Anzahl von Primzahl bis zur einer Grenze hab ich wie folgt ermittelt(@weird: kannst du vielleicht die Produkt-Formel dazu beisteurn ?):

f(x) =  (1-1/2)*(1-1/3)  *(1-1/5)*(1-1/7)...*(1-1/25)*...*(1-1/35)*...

Mit anderen Worten - ich hab NICHT NUR die Primzahlen verwendet, sondern ALLE NACHBARN (z.B. auch die 25 und die 35 u.s.w.) des Vielfachen von 6 (also, 6n-1, 6n+1, und am Anfang die 2 und 3).

Anmerkungen und Fragen:
--> Es sollte doch möglich sein zu beweisen, dass diese Funktion DIVERGIERT?!
--> Falls zutreffend: Kann bewiesen werden, dass DIESE Funktion eine untere Schranke in Bezug zur Pi-Funktion darstellt ?
... und wenn das klappt könnte man die Technik (via verdichteter Teiler-Flächen) doch auch auf Zwillinge und weitere Tupel anwenden ?!  😄

Wenn ich dich richtig verstanden habe, betrachtest du jetzt die Funktion
\[g(x)=\frac x3 \prod\limits_{{1<q\le\sqrt x}\atop{q\equiv\pm 1\mod 6}}\left(1-\frac1q\right)\quad (x>3)\] wobei hier im Produkt $q$ nicht mehr notwendig prim, sondern nur mehr von der Form $6k\pm1$ ist. Wenn das stimmt, dann würde diese Funktion $\pi(x)$ nun wirklich unterschätzen, aber für große $x$ echt krass, d.h., sie wäre als Schätzung dann auch absolut unbrauchbar. So gilt etwa zusammen mit den im letzten Posting eingeführten Bezeichnungen
\[\pi(100\,000)=9592, \ f(100\,000)\approx 9651.94, \ g(100\,000)\approx6887\] Da sind die Schätzungen, welche sich aus dem Primzahlsatz
\[\pi(x)\approx \frac x{\ln x}\] für "große" $x$ ergeben schon klar besser (hier würde sich $\approx 8685.89$ ergeben), vor allem geht für sie der relative Fehler für $x\to \infty$ sogar gegen Null(!) und für $x\ge 17$ ist das sogar beweisbar stets eine Unterschätzung. Warum also in die Ferne schweifen...  😁

Was für dich in diesem Zusammenhang bedeutet, dass eine Funktion "divergiert", ist mir auch nicht ganz klar. Alle hier betrachteten Funktionen $\pi(x),f(x)$ und $g(x)$ "divergieren" in dem Sinne, als sie unbeschränkt wachsen. Betrachtet man aber $\pi(x)/x,f(x)/x,g(x)/x$, was du vielleicht gemeint haben könnest, so ist ebenso klar, dass sie asymptotisch alle gegen 0 gehen. Was meinst du also hier wirklich?  😮



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PriMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-13


Hallo @weird !

ja genau, super gut, deine Produkt-Formel g(x) !!!

Und nochmal ja, mich interessiert zunächst nur, ob g(x) unbeschränkt wächst, was du ja bestätigt hast.
--> Der Grad der Unterschätzung ist völlig unerheblich.
Die Betrachtung der Primzahlen auf diese Weise war 'nur' der Einstieg.
Viel spannender ist doch die Frage, ob man mit dieser Technik beweisen kann, dass es UNENDLICH VIELE Primzahl-ZWILLINGE(und TUPEL) gibt !?

D.h., wenn genauso gelten würde:
--> Die Produktformel für Primzahl-Zwillige wächst ebenso unbeschränkt.
--> Die Produktformel für Primzahl-Zwillige ist eine VALIDE UNTER-Schätzung der Formel zur Zählung der Primzahl-ZWILLINGE bis zu einer Schranke (hat die auch eine spez. Bezeichnung ?).
Wenn das stimmt
--> MUSS es doch unendlich viele Primzahl-Zwillinge geben ???!!!

Wenn ich mir in der letzten Graphik die mittlere violette Kurve (für Primzahl-Zwillinge) anschaue scheint die Unterschätzung noch krasser auszufallen, ABER SIE STEIGT KONTINUIERLICH :-)

Viele Grüße !
PriMath



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PriMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-13


Hallo nochmal,

was vielleicht noch nicht klar geworden ist - ich beziehe ich mich zur Analyse der Primzahl-Zwillinge NICHT auf den kompletten Zahlenstrahl, sondern nur auf jede 6. Zahl (aufbauend auf der Symmetrie-Linie wird das Produkt unten mit (x-1)/6 multipiziert).
Und, das Produkt wird über (1 - 2/q) gebildet, weil in der speziellen Teiler-Fläche für Zwillinge die 'Leere' der Teilerpunkte (1 - 2/5), (1 - 2/7) u.s.w. beträgt.

Als Produkt-Formel zur unteren Abschätzung von Primzahl-Zwillingen würd ich deshalb so ansetzen (das 1. Zwillingspaar 3 <--> 5 lass ich raus, weil 1 Zwilling quantitativ überhaupt keine Rolle spielt):
     
\[h(x)= \frac {x-1}6 \prod\limits_{{1<q\le\sqrt x}\atop{q\equiv\pm 1\mod 6}}\left(1-\frac2q\right)\quad (x≥5)\]
Die Laufvariable q muss hier ebenfalls nur bis sqrt(x) iterieren.

Viele Grüße !
PriMath



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-09-13


Da vermutet man ja gleich die Form $$ \frac{\pi(x)+f(x)}{2},\text{  für }(0<x<\infty)$$ als beste Näherung.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Gruß haegar



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weird
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2019-09-13 13:15 - haegar90 in Beitrag No. 11 schreibt:
Da vermutet man ja gleich die Form $$ \frac{\pi(x)+f(x)}{2},\text{  für }(0<x<\infty)$$ als beste Näherung.

Hm, wenn in dieser Formel wirklich den Wert von $\pi(x)$ kennt, warum nimmt man ihn dann nicht gleich als "beste Näherung" für $\pi(x)$?  😎



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-09-13


😄 ja, es sollte anders lauten mit $(2\leq x<\infty)$:

$$\pi(x)\approx \frac{\frac{x}{\ln{(x)}}+x\prod_{_{p=2}}^{_{\leq\sqrt x}}\big(1-\frac{1}{p}\big)}{2}$$
$$\pi(x)\approx \frac{x\Big(1+\ln(x)\prod_{_{p=2}}^{_{\leq\sqrt x}}\big(1-\frac{1}{p}\big)\Big)}{2\ln{(x)}}$$








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Gruß haegar



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-06-01


Hallo Experten !

Ich habe mal eine fachliche Frage.

Ich fand diese Seite auf der es um die Hardy-Littlewood Konstante C geht.



Wie berechnet man zum Bsp C4=4.15118 ? Was ist zutun ?

Ich verstehe den als Korrekturfaktor , um aus a/ln(n)^k die Abschätzung von primen k tupeln zu erhalten.

Ich blicke da nicht durch, wie C ermittelt wird.

Danke für die Mühe !



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Pech in der Liebe , Glück im Verlieren !!!



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-14 11:19


Hallo pzktupel,

diese Seite fand ich hilfreich:
-->



Aussage der Formeln:
--> ... the number of occurrences of a prime constellation of length k is (infinitely often !!) greater than a constant times $x/(log(x))^k$.

Ich verstehe obige Konstanten als Grenzwerte beim Übergang ins Unendliche.

Viele Grüße !
PriMath



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-06-14 13:27


Danke für die Mühe !

Ich hatte später eingesehen, das diese Faktoren vor dem Integral sehr! aufwendig sind in der Berechnung. Insbesondere die Brüche vor dem Produkt (2 , 9/2, 27/2,...) sind auch unklar. Bei den 8-Tupeln gibt es zum Bsp. 3 Muster mit 2 unterschiedlichen Häufigkeiten, da sind die Brüche auch nochmal anders. Bei 13 Tupel sind es 6 Muster mit 3 verschiedenen...

Ist eigentlich nicht mehr so dringend.

LG pzktupel


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