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  Algebra |
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Docker1
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 31.08.2002
Mitteilungen: 1136
 |  Themenstart: 2002-11-01
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Hi,
Es seien M und N nichtleere Mengen. es seien A ,BÌM und C,DÌN.
Es sei F: M---> N eine Funktion.
Sind die folgenden Gleichungen erfüllt?
man beweise oder widerlege durch ein Gegenbeispiel!
f(AÇB)= f(A)Çf(B),
f(AÈB)= f(A)Èf(B)
f^-1 (CÇD)= f^-1(C) Çf^-1(D)
Ich kann mich nicht daran erinnern das der Prof sowas mit uns besprochen hat???
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Ende
Senior 
Dabei seit: 15.03.2002
Mitteilungen: 2300
Wohnort: Kiel, Ostsee
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-01
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Hallo, Docker!
Dazu ist eigentlich nur Vorstellungsvermoegen und ein gutes Verstaednis des Funktionenbegriffes notwendig.
Womit hast Du Schwierigkeiten?
Gruss, E. 
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Docker1
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 31.08.2002
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-01
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Mir fehlt komplett der Ansatz.....
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DaMenge
Senior
Dabei seit: 24.07.2001
Mitteilungen: 1178
Wohnort: Bonn
 |  Beitrag No.3, eingetragen 2002-11-01
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Hi Docker,
DAS Problem hatte ich letzte Woche auch !
Wichtig für diese Art der Aufgaben ist ein wirkliches Verständnis folgender Definitionen :
f(A):={nÎN | f(m)=n und mÎA}
D.h : f(A) ist gerade die Menge, der Funktionswerte, die als Argument ein m aus A haben !!
Nun kannst du bei a) folgendermaßen vorgehen :
"Í" : Sei n ein beliebiges Element von f(AÇB) mit n=f(m') , dann folgt nach obiger Definition :
m' Î (AÇB).
Also ist m'ÎA und m'ÎB !!
Nun betrachte mal f(A) - das sind gerade alle Funktionswerte n, deren Argumente aus A kommen, also ist unser n mit n=f(m') und m'ÎA auf jeden Fall ein Element davon. Gleichzeitig gilt das gleiche auch für m'ÎB und f(B) ==> also ist f(AÇB)Íf(A)Çf(B)
Der folgende Rückschluß ist falsch, aber er bleibt hier stehen, weil der Rest der Postings sonst keinen Sinn ergeben würden !
Jetzt noch die andere Richtung (sonst hast du ja keine Gleichheit gezeigt) : Sei n=f(m') und f(A)Çf(B), also nach der Definition !! :
m'ÎA Ç m'ÎB.
Also : m'Î(AÇB) ==> f(m')(=n) ist ein Element von f(AÇB) Damit hast du auch deinen Rückschluss ! Ende der falschen Aussagen
Für Aufgabe b) musst du eine Fallunterscheidung machen (sei m' aus A oder m' aus B) - aber sonst analog!
Bei c) musst du folgende Definition verinnerlichen :
f-1 (C) = {mÎM | f(m)=n und nÎC}
Also das sind gerade alle die Argumente, deren Funktionswert in C liegt !
Wenn du wirklich darüber nachdenkst, schaffst du das jetzt auch !!
[Es ist wichtig fürs Studium, dass du es selbst verstehst und nicht abschreibst !]
MfG und viel Erfolg dabei
DaMenge
[ Nachricht wurde editiert von DaMenge am 2002-11-01 15:24 ]
[ Nachricht wurde editiert von DaMenge am 2002-11-06 15:03 ]
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Ende
Senior
Dabei seit: 15.03.2002
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| Beitrag No.4, eingetragen 2002-11-01
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Oho, DaMenge! 
Vorsicht, die erste Gleichung ist falsch, also durch ein Gegenbeispiel zu widerlegen.
Docker, faellt Dir ein Gegenbeispiel ein?
Gruss, E.
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DaMenge
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2002-11-01
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Hi Ende,
Bist du dir da ganz sicher ?
Also Fabi und Matroid haben letztens noch was anderes behauptet.
Siehe hier (Aufgabe 2a) )
Oder sehe ich das jetzt schon wieder falsch ?
Bin aufs Gegenbeispiel gespannt..
MfG
DaMenge
[ Nachricht wurde editiert von DaMenge am 2002-11-01 15:43 ]
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Ende
Senior
Dabei seit: 15.03.2002
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| Beitrag No.6, eingetragen 2002-11-01
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Hallo, DaMenge!
Wenn Du Deine damalige Aufgabe genau liest, dann siehst Du, das dort nur eine Inklusion behauptet und auch gezeigt wurde. Die andere Inklusion fehlt, um zur Gleichheit zu kommen. Und genau die Richtung geht schief.
Das Gegenbeispiel moechte ich gerne Docker selbst ueberlegen lassen, weil man beim Finden eines Gegenbeispiels sehr vertraut mit den Definitionen wird.
Gruss, E.
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DaMenge
Senior
Dabei seit: 24.07.2001
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|  Beitrag No.7, eingetragen 2002-11-01
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Klar !! Danke Ende !
Also, wenn ich meine "Lösung" von oben betrachte müsste der Fehler darin liegen :
>Sei n=f(m') und f(A)Çf(B), also nach der Definition !! :
>m'ÎA Ç m'ÎB.
Aber es müsste wohl eher so heißen :
Sei n=f(m') und f(A)Çf(B), also nach der Definition !! :
m'ÎA Ç m''ÎB.
Und da kann man nix über m' und m'' aussagen.
Ein Gegenbeispiel hab ich auch, aber wie du schon sagst, sollte Docker das finden - prüf doch mal bitte, ob darin wirklich mein Fehler lag (wichtig für den Artikel) - much thx
DaMenge
[ Nachricht wurde editiert von DaMenge am 2002-11-01 15:58 ]
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Ende
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| Beitrag No.8, eingetragen 2002-11-01
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Ja, DaMenge, genau richtig, das war Dein Fehler.
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Docker1
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 31.08.2002
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-01
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Hi, hab folgende Beweise mir überlegt, mittels Logik.
f(AÇB) = f(A) Ç f(B)
yEf (AÇB) <-->$ x (( xEA Ù xEB) Ù ( f(x)=y ) --> ( yE f (A) ÙyE f(B) )
f(AÈB)= f(A) È f(B)
yEf (AÈB) <-->$ x (( xEA Ú xEB) Ù ( f(x)=y ) <--> ( yE f (A) Ú yE f(B) )
f^-1 (C Ç D) = f^-1 (C ) Ç f^-1 (D)
xE f^-1 (CÇD) <-->$ y (( yEC Ù yED) Ù ( f(x)=y ) <--> ( xE f^-1 (C) Ù xE f^-1 (D) )
Sind die Beweise so ausreichend oder hab ich was übersehen??
Sorry aber ein Beispiel warum das von da Menge nicht hinhaut kann ich nicht bringen...
[ Nachricht wurde editiert von Docker am 2002-11-01 18:46 ]
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Moonie123
Senior
Dabei seit: 27.10.2002
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Wohnort: Hof
 | Beitrag No.10, eingetragen 2002-11-01
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Hallo, Docker,
versuch doch mal für
f(x) = x²
und A={-2,1} , B={2,1}
f(A und B) sowie (f(A) und f(B)) auszurechnen.
Grüße,
Moonie123
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Docker1
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 31.08.2002
Mitteilungen: 1136
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-01
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danke da wird mir der Widerspruch schon klar! während im ersten Fall
4,1,4 die Vereinigung bilden ist im zweiten Fall die Vereinigung 4,1.
Aber wie bringe ich diesen fall in den Beweis unter? Muß zugeben das ich den eigentlich sehr einleuchtend finde und ich ihn sogar verstehe.
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Docker1
Ehemals Aktiv
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Mitteilungen: 1136
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-01
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Für den Durchschnitt ergibt sich ja auch ein Widerspruch....
Wie muß ich das dann formulieren??
Irgendwie verwirrt mich das jetzt ein bisschen...
[ Nachricht wurde editiert von Docker am 2002-11-01 19:13 ]
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Moonie123
Senior
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|  Beitrag No.13, eingetragen 2002-11-01
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@Docker
Es ergibt sich nur für den Durchschnitt ein Widerspruch, für die Vereinigung stimmt das =-Zeichen, weil {4,1,4} = {4,1} (nach Deiner Rechnung).
Für den Durchschnitt ergibt sich aber folgendes:
A={-2,1}
B={2,1}
f(A "geschnitten" B) = f(1) = {1}
f(A) "geschnitten" f(B) = {4,1} geschnitten {4,1} = {4,1}
Für f(A "geschnitten" B) und f(A) "geschnitten" f(B) gilt auch nur eine
"Teilmenge-gleich"-Beziehung.
Für die Vereinigungen gilt ein =.
Grüße,
Moonie123
PS: Die Schnittmengen sind genau dann gleich, wenn f injektiv ist, und das ist x² nun mal nicht.
[ Nachricht wurde editiert von Moonie123 am 2002-11-01 21:11 ]
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