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Analysis » Funktionalanalysis » Funktionalanalysis: Operator-Relation zeigen
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Universität/Hochschule J Funktionalanalysis: Operator-Relation zeigen
Neymar
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  Themenstart: 2019-05-23

Hallo alle zusammen, sei $H$ Hilbertraum und $p$ orthogonaler Projektor $p: H \longrightarrow U := p(H)$. Außerdem sei $T \in \mathcal{L}(H, H)$ (Vektorraum aller beschränkten - und damit stetigen - Operatoren von $H \longrightarrow H$). zu zeigen: Es gilt $T(U) \subseteq U \Leftrightarrow T \circ p = p \circ T \circ p$. (i) Okay, meine erste Frage lautet: Gilt i.A. nicht $T(U) \subseteq U$? (Meine Idee: Wir haben im Skript orthogonale Projektoren auf abgeschlossenen Unterräumen $U$ definiert, weshalb ich hier von $U$ abgeschlossen ausgehe. Dann: Gilt nicht für jede lineare Abbildung, dass $T(U) \subseteq U$? Ich weiß es nicht, würde mich aber sehr über ein Gegenbsp. oder den Link zu einer Seite finden, wo ich es nachlesen kann.) (ii) Zuerst zeige ich die Richtung ,,$\Rightarrow$". Angenommen, $T(U) \subseteq U$. Dann: $$(T \circ p)(x) \in T(U) \subseteq U \quad \forall x \in H$$. Weiter: $$(p \circ T \circ p)(x) = \left (p \circ (T \circ p) \right)(x) \in T(U) \subseteq U \quad \forall x \in H$$ Hier bin ich mir jedoch noch nicht so gnaz sicher: Was ist $p$ angewandt auf $x \in T(U)$? Also wird dann $x$ einfach auf sich selber abgebildet, oder warum sonst stimmt meine letzte Gleichung (falls sie es überhaupt tut)? (iii) Nun zur Rückrichtung ,,$\Leftarrow$": Angenommen, $(T \circ p)(x) = (p \circ T \circ p)(x) \quad \forall x \in H$. Hier würde ich mich über einen kleinen Hinweis freuen. Vielen Dank im Voraus. Gruß Neymar


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Kampfpudel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-23

Hey Neymar, wenn du einen zufälligen Hilbertraum \(H\) nimmst, einen echten Unterraum \(U\) und dann eine zufällige, lineare und stetige Abbildung von \(T:H \to H\) hinschreibst, wird die Beziehung \(T(U) \subset U\) in aller Regel nicht erfüllt sein. Mach das Beispiel ruhig endlich-dimensional. Bei der Richtung \(\Rightarrow\) will man für beliebiges \(x \in H\) zeigen, dass \(p(T(p(x)))=T(p(x))\) gilt. Bedenke, dass bei einer Projektion gerade \(p(u)=u\) gilt für alle \(u \in U\). Wenn du nun weißt, dass \(T(u) \in U\) für alle \(u \in U\) gilt, wirst du beides mal zusammen bringen müssen. Wenn du bei der Rückrichtung \(T(u) \in U\) für alle \(u \in U\) zeigen willst und die angegebene Gleichung verwenden sollst, solltest du auch benutzen, dass \(U=p(H)\) ist, also jedes \(u \in U\) sich als Bildelement von \(p\) darstellen lässt.


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Neymar
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-24

Hallo Kampfpudel. (i) Sei $H := \mathbb{R}, U:= \mathbb{Q}, T: H \rightarrow H, x \mapsto \sqrt{2}x$. Es gilt, dass $T$ linear und stetig (da beschränkt) ist. $T(2) = 2\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. So viel zum Gegenbeispiel. :-) (ii) Ist die Verknüpfung von lineare Abbildungen, dien nicht notwendigerweise stetig oder beschränkt sein sollen, i.A. assoziativ, i.e. $A \circ B \circ C = (A \circ B) \circ C = A \circ (B \circ C)$? (iii) Zur Rückrichtung: Sei $T \circ p = p \circ T \circ p$, i.e. $\forall x\in H: T\left(p(x)\right) = (p \circ T \circ p)(x) \Leftrightarrow T(u) = p\left(T(u)\right)$ mit $u := p(x) \in U$. Die letzte Relation kann jedoch nur gelten, wenn $T(u) \in U \Rightarrow T(U) \subseteq U$. Was meinst du? :-) (iv) Noch eine Frage zu dieser Aufgabe: $T(U) \subseteq U \ \ \wedge \ \ T(U^{\perp}) \subseteq U^{\perp} \Leftarrow T \circ p = p \circ T$. Auf jeden Fall gilt $H = U \oplus U^{\perp}$, i.e. $x = x_1 + x_2$ (Eindeutigkeit liegt vor, $x_1 \in U, x_2 \in U^{\perp})$. Also: $T\left( p(x) \right) = p\left(T(x)\right) \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow T(x_1) = p(T(x_1)) + p(T(x_2))$ So, das haben wir so berechnet. Ich weiß aber noch nicht so ganz, wie ich daraus die zu zeigende Aussage beweisen kann. Sicherlich reicht es hier einfach nicht, $T(x_1) \in U$ und $T(x_2) \in U^{\perp}$ anzunehmen. Danke im Voraus.


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Kampfpudel
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-25

Zu i): Über welchen Körper ist denn bei dir \(H=\mathbb{R}\) ein Vektorraum? Ich frage deshalb, weil \(\mathbb{Q}\) kein \(\mathbb{R}\)-Vektorraum ist und daher dein Beispiel so nicht zieht. Ich hätte eher an etwas einfachem wie \(H=\mathbb{R}^2\) und \(U= \{ x=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2: ~x_1=0 \}\) gedacht. zu ii): Jede beliebige Verknüpfung von Abbildung ist assoziativ. Ich frage mich nur, wieso dir das jetzt die Aufgabe lösen soll? zu iii): Mir fehlt bei deiner Argumentation noch, wieso für jedes(!) \(u \in U\) gilt: \(T(u) \in U\). Deswegen solltest du lieber mit "Sei \(u \in U\). Dann..." anfangen. zu iv): Eins nach dem anderen. Zeigen wir erstmal \(T(U) \subset U\) und danach \(T(U)^{\perp} \subset U^{\perp}\). Also sei \(u \in U\) und zu zeigen ist \(T(u) \in U\). Man weiß, dass \(T(p(u))=p(T(u))\) gilt. Jetzt musst du zwei mal benutzen, was genau eine Projektion auszeichnet


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Neymar
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25

ad (i). Ah okay, ich glaube, ich verstehe. Und wenn ich $\mathbb{K} = \mathbb{Q}$ wähle, dann darf ich das Bild der Abbildung $T$ vermutlich nicht mittels $\sqrt{2}$ definieren, oder? ad (iii). Ja okay, es kann ja sein, dass nicht jedes (!) $u \in U$ durch die Abbildung $p$ getroffen wird, stimmt. Ich weiß aber dennoch nicht, wie man das retten kann. ad (iv). $p^\star = p$, $p \circ p = p$. Ich weiß nicht, ob das die Eigenschaften sind, auf die du hinauswoltest. Gruß Neymar


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Kampfpudel
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  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-25

Wenn du als Grundkörper \(\mathbb{Q}\) wählst, dann ist es auch okay. zu iii) Na, es ist doch \(p(H)=U\), schreibst du doch selbst im Ausgangsbeitrag. zu iv) Damit meine ich, dass du verwenden sollst, dass \(p(u)=u \Leftrightarrow u \in U\) und \(p(v)=0 \Leftrightarrow v \in U^{\perp}\). Das kann man sofort sehen, wenn man folgendes bedenkt: Für jedes \(x \in H\) existieren eindeutig bestimmte \(u \in U\) und \(v \in U^{\perp}\), sodass \(x=u+v\). Wenn \(p\) nun eine Projektion von \(H\) auf \(U\) ist, bedeutet das per Definition: \(p(x)=p(u+v)=u\).


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Neymar
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25

Danke dir, Kampfpudel! :-) Neymar


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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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