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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Lösung Differentialgleichung bestimmen
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Universität/Hochschule Lösung Differentialgleichung bestimmen
Mathehae
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-24 14:51


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-24 15:03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

das kann man nicht entziffern. Meinst du die folgende DGL:

\[f''=-9f,\quad f(0)=1,\ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\]
Bestimme mal die allgemeine Lösung dieser homogenen DGL mit dem Ansatz

\[f=e^{ax}\left(C_1\cos(bx)+C_2\sin(bx)\right)\]
wobei du die Parameter \(a=0\) und \(b=3\) mit Hilfe der charakteristischen Gleichung \(\lambda^2+9=0\) erhältst.

Damit kann insbesondere \(e^{3x}\) keine Lösung der obigen DGL sein!


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Mathehae
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-24 15:14

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
2019-05-24 15:03 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

das kann man nicht entziffern. Meinst du die folgende DGL:

\[f''=-9f,\quad f(0)=1,\ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\]

Ja, genau das meinte ich.


Bestimme mal die allgemeine Lösung dieser homogenen DGL mit dem Ansatz

\[f=e^{ax}\left(C_1\cos(bx)+C_2\sin(bx)\right)\]
wobei du die Parameter \(a=0\) und \(b=3\) mit Hilfe der charakteristischen Gleichung \(\lambda^2+9=0\) erhältst.

Damit kann insbesondere \(e^{3x}\) keine Lösung der obigen DGL sein!

 
Leider kann ich dir nicht folgen. Wir hatten noch nicht wirklich viel zu Differentialgleichungen. Wir haben lediglich Lösungen für  \[f''=2f\] und \[f''=-f\] bestimmt, indem wir darüber nachgedacht haben...

\(\endgroup\)


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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-24 16:19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

dann überlege so:

\[\sin(ax)''=-a^2\sin(ax),\ \cos(ax)''=-a^2cos(ax)\]
Also kann - für geeignetes a - jede Linearkombination der Form \(C_1\sin(ax)+C_2\cos(ax)\) Lösung der vorgelegten DGL sein.

Mit der Exponentialfunktion hat es im von dir zitierten Fall wegen gleicher Vorzeichen funktioniert, hier muss sich das Vorzeichen nach der zweiten Ableitung geändert haben. Das bekommst du aber nur mit den beiden Kreisfunktionen hin.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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