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Universität/Hochschule J Funktionalanalysis: Hilbertbasis
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-24


Hallo alle zusammen,

da ich eben gerade Lust hatte, etwas zu texen, schicke ich meine Frage als Bild:


Gruß
Neymar



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-25

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Hallo Neymar,

$(x_n)_n$ ist eine Notation, die klarmachen soll, dass es um die Folge $x_n$ als Objekt geht, und nicht um ihre einzelnen Glieder. Wahrscheinlich hast du schon ein paar mal die ausführlichere Variante der Schreibweise gesehen, $(x_n)_{n\in\N} Da $T$ auf Folgen wirkt, nicht auf Zahlen, wählt man sinnvoller Weise diese Notation, um das zu verdeutlichen.
\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-25

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Hi Neymar.
Es ist ja $(x_n)\in \C^\N$ erstmal eine Folge Komplexer Zahlen die mit $n\in \N$ indiziert sind.
$(x_n)_n=x_n\in \C$ ist also eine Komplexe Zahl.
$T$ ist auf $\mathcal{l}^2$ definiert, also macht $T((x_n)_n)$ keinen Sinn.

Desweiteren ist $(\sum_m a_{n,m}x_m)$ offenbar eine Folge Komplexer Zahlen $\sum_m a_{1,m}x_m,\sum_m a_{2,m}x_m,\pts$.

Es kann also nur $T((x_n))=(\sum_m a_{n,m}x_m)$ gemeint sein (Gleichheit von Folgen), oder - was das gleiche ist - $(T(x_n))_n=(\sum_m a_{n,m}x_m)_n$ (Komponentenweise Gleichheit der Folgenglieder).

Beachte(eher unwichtig, aber ich sag es mal)
$\bul$ Die Definition einer Hilbert-Basis hast du nicht komplett hingeschrieben.
$\bul$ Das Wort $Familien$ sollte hier $Familie$ lauten.
$\bul$ Das Wort $gibt$ kommt einmal zu viel vor (doppelt).

Zur Aufgabe selbst
Wenn $\mathcal{B}=\{e_k\mid k\in I\}$ eine Hilbert-Basis in einem Hilbert Raum $(H,\langle-,-\rangle)$ ist, (also eine ONB), dann hat jedes $x\in H$ die Darstellung $x=\sum_{k\in I}\langle x,e_k\rangle e_k$.
(Fourier expansion)

Vielleicht hilft das.
Bemerkung:
Wenn man $(x_n)_n$ schreibt und nicht $(x_n)_{n\in \N}$, dann ist damit sehr wahrscheinlich das $n-$te Glied der Folge gemeint.

\(\endgroup\)


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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25


Hallo Vercassivelaunos und xiao_shi_tou_,

(a) ich glaube, dass in der Aufgabe eher $(T(x_n))_n=(\sum_m a_{n,m}x_m)_n$ gemeint ist, weil sonst die Notationen, wie im letzten Post hervorgehoben wurde, keinen Sinn ergeben.

Anyway, wir hatten gerechnet:

$T(x_n) = T\left( \lim_{\nu \to \infty} \sum_{k = 1}^{\nu}\langle x, e_k \rangle e_k\right) = \sum_{k}\langle x, e_k \rangle T(e_k) = \sum_{k} \langle x, e_k\rangle T(e_k) = \sum_{k} \langle x, e_k \rangle \left( \sum_{s = 1}^{\infty}\langle T(e_k), e_s \rangle e_s \right) = \sum_k \sum_s \langle x, e_k \rangle \langle T(e_k), e_s \rangle e_s$

Nun definiere man $a_{ks} := \langle T(e_k), e_s \rangle$. Ergo:

$\left( T(x_n)\right)_n = \left\langle \sum_{k, s}\langle x, e_k \rangle \langle T(e_k), e_s \rangle e_s, e_n \right\rangle = \sum_{k} \langle x, e_k \rangle \langle T(e_k), e_n \rangle = \sum_{k} \langle x, e_k\rangle a_{ks}$

Im letzten Schritt wurde verwendet, dass wir eine Hilberbasis vorliegen haben. So, was mich jetzt noch stört: Ich habe auf der rechten Seite noch nicht ganz die Behauptung raus, die ja lautet: $T(x_n)_n = \left(\sum_m a_{n,m}x_m\right)_n$. Gefühlt sind die Indizes $a_{ks}$ bei mir auch vertauscht, im Sinne von es sollte eher $a_{sk}$ heißen und auch der Index $s$ sollte ja mehr als nur einmal auftauchen ...


(b) Anyway, ich setze als bekannt voraus, dass gilt (denn dies ist gerade in der Aufgabe zu zeigen):

$T\left(\left(x_n\right)_n\right) = \left( \sum_{m} a_{n,m}x_m \right)_n$.

zu zeigen: Der zu $T$ $adjungierte$ Operator wird durch die Abbildung $a^{\dagger}: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}, (n,m) \mapsto \overline{a_{m,n}}$ beschrieben: $T^\star((x_n)_n) = \left(
\sum_{m} \overline{a_{m,n}}x_m \right)_n$

Die Indizes sind jetzt in der Tat vertauscht, i.e. bei $T$ steht $a_{n,m}$ und bei $T^{\star}$ $\overline{a_{m,n}}$.


Looking forward to your reply,
Neymar



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-26

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Etwas verspätet noch eine Antwort:

a) Im letzten Schritt sollte $a_{kn}$ stehen, nicht $a_{ks}$, da ja durch das Skalarprodukt mit $e_n$ alle $e_s$ wegfallen, außer das mit $s=n$. Als letzten Schritt wendet man noch an, dass $\left< x,e_k\right>=x_k$ ist.
Bei der Notation für $a_{kn}$ hast du Recht. Damit es von der Form her konsistent ist, sollte es $a_{n,k}$ heißen, und $k$ sollte auch durch $m$ ersetzt werden. Das ist aber nur Kosmetik, und kein mathematisches Problem.

b) Hier würde ich einfach nachrechnen, dass bei $\left<T^\ast x,y\right>$ und $\left<x,T y\right>$ das selbe rauskommt. Oder was genau ist deine Frage?
\(\endgroup\)


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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26


Hallo Vercassivelaunos,

erst einmal danke für deine Antwort! xiao shi tou hat wohl keine Lust mehr.

Okay, ran an die Rechnung für (b):

$\langle T^\star x_n, y_n \rangle = \left\langle \sum_{m} \overline{a_{m,n}}x_m, y_n  \right\rangle = \sum_{m} \overline{a_{m,n}} \left\langle x_m, y_n \right\rangle$

$\langle x_n, Ty_n \rangle = \left\langle x_n, \sum_{m} a_{n,m} y_m\right\rangle = \sum_{m}\overline{a_{n,m}} \langle x_n, y_m\rangle$

KONVENTION: Linearität im 1. Argument, Anti-Linearität im 2. Argument

PROBLEM: Die beiden Gleichungen stimmen noch nicht überein $\dots$


Gruß
Neymar



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-05-26


2019-05-26 20:01 - Neymar in Beitrag No. 5 schreibt:
ROBLEM: Die beiden Gleichungen stimmen noch nicht überein $\dots$

Du wirfst Folgen und Folgeglieder durcheinander.

Das kannst du schon daran sehen, dass $\langle x_n,y_m\rangle$ (also das Skalarprodukt zweier Zahlen) gar nicht definiert ist. Definiert ist dagegen $\langle(x_n)_n,(y_m)_m\rangle$ (das Skalarprodukt zweier Folgen). Und dieses Skalarprodukt kannst du durch die Folgeglieder ausdrücken:$$ \bigl\langle(x_n)_n,(y_m)_m\bigr\rangle=\sum_n x_n\,\overline{y_n}
$$Wenn du deine Rechnung nochmal sauber aufschreibst, verschwindet dein PROBLEM ganz von selbst.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-27


Hmm, (b) kriege ich nicht hin, aber vielleicht wird mir die Aufgabe morgen bei der Besprechung klarer.




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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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