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Mathematik » Stochastik und Statistik » Erwartungswert - Poissonverteilung
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Universität/Hochschule J Erwartungswert - Poissonverteilung
Kataaaa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-25 09:35


Guten Morgen,
ich stehe gerade bei einer Aufgabe auf dem Schlauch und finde keinen Anfang, könne mir Jemand bitte helfen?

Aufgabe:
Sei \(X \sim \operatorname{Poi}(\lambda)\) Ziel ist die Berechnung der Varianz.

Berechnen Sie den Erwartungswert von \([X]_{k} :=X \cdot(X-1) \cdots(X-k+1), \quad k \in \mathbb{N}_{0}\) sowie \(\mathbb{E} X^{2}\).

Vielen Dank



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-25 10:30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo Kataaaa und herzlich Willkommen hier auf Matroids Matheplanet!

So ganz erschließt sich mir dein Anliegen noch nicht. Es geht ganz offensichtlich aber um die Varianz der Poissonverteilung. Da gibt es bei Wikipedia eine schöne Herleitung mittels Verschiebungssatz.

Über den Erwartungswert von \([X]_k\) muss ich noch nachdenken.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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InOMatrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-25 10:36


Hallo Kataaaa,

vielleicht hilft Dir der Ansatz weiter, dass
\[\mathbb{E}[X]=\sum_{k=1}^n{(k\cdot\left(\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\right))}.\] Okay, die Frage ist nun, wie man darauf kommt. In der Regel lernt man die allgemeine Definition \(\mathbb{E}[X]=\int_\Omega X\mathrm{d}\mathbb{P}\) kennen (für einen Maßraum \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\)). Dann überlegt man sich, dass man \(\Omega=\mathbb{N}\) und \(\mathbb{P}\) als die Poisson-Verteilung wählen kann. Als \(X\) wählen wir nun die Identität, und dann haben wir auch schon
\[\mathbb{E}[X]=\int_\mathbb{N}{x\mathrm{d}(\mathbb{P}x)},\] was dann zum obigen Ansatz führt.  Für \(\mathbb{E}[X^2]\) kann man analog vorgehen.

LG InOMatrix

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Kataaaa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25 10:40


Hallo Diophant,
danke für die Antwort.

Ja die Herleitung durfte ich zwei Aufgaben davor selbst tun und anscheinend stimmt Sie mit der aus Wikipedia überein, Glück gehabt:)


Dieses \[[X]_{k}\] etc  verwirrt mich allerdings nun komplett.
LG
Kata

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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Kataaaa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25 10:49


Hallo InOMatrix,
auch dir danke für die Antwort.

Ich studiere nicht Mathematik sondern, Statistik und wir hatten diese Integrale in Stochastik bisher noch nicht, von daher glaube ich nicht, dass man es auf dies Art und Weiße machen sollt?! Bin mir da natürlich nicht sicher.

Zwei Aufgaben davor  musste ich \(\mathrm{E}(X) = \lambda\) und \(\mathrm{E}\left(X^{2}\right) = \lambda^2+\lambda\) herleiten vlt sollte man dies ja nutzen?:()



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-25 11:26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo nochmals,

ich habe (um ehrlich zu sein) etwas recherchiert. Der gesuchte Erwartungswert \(E([X]_k)\)wird allgemein als k. faktorielles Moment bezeichnet, berechnet wird dieses über die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion, oft kurz als WeF bezeichnet.

Sind das Begriffe, die du schon zur Verfügung hast?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kataaaa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25 11:41


Hey,
direkt habe ich das Wort wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bzw WeF noch nie gehört, allerdings habe wir bei den Eigenschaften des Erwartungswertes so etwas hier definiert und kurz bewiesen:



Sei $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb { R }$  eine Funktion. Dann gilt
$\mathbb{E}[f(X)]=\sum_{x \in X(\Omega)} f(x) \mathbb{P}(X=x)$


Allerdings wars das dann auch  :)


Edit:

Ich habe nun etwas im Skript gefunden, was allerdings noch lange nicht behandelt wurde und werden wird.

Ich zitiere einmal:

Sei X eine Zufallsvariable. Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion (manchmal auch nur erzeugende Funktion) von X ist definiert durch $g_{X}(t)=\mathbb{E}\left[t^{X}\right]$.
Man beachte, dass der Definitonsbereich von $g_{x}$ nicht unbedingt ganz $\mathbb{R}$ (oder $\mathbb{C} )$
umfasst, jedoch ist $g_{X}(t)$ immer mindestens für $t \in[0,1]$ definiert. Im Fall von Galton-
Watson Prozessen arbeiten wir mit Zufallsvariablen, welche Werte in $\mathbb{N}_{0}$ annehmen. In
diesem Fall berechnet sich die erzeugende Funktion nach Definition als
$g_{X}(t)=\sum_{k=0}^{\infty} t^{k} \mathbb{P}(X=k)$

Bei der Poisson-Verteilung zum Parameter $\lambda$ gilt $\mathrm{P}(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}, k \in \mathbb{N}_{0} .$ Somit ist
die erzeugende Funktion gegeben durch
$g_{X}(t)=\sum_{k=0}^{\infty} t^{k} \frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}=e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(t \lambda)^{k}}{k !}=e^{-\lambda} e^{t \lambda}=e^{\lambda(t-1)}$
Die Bedeutung dieser Funktionen liegt in einer Reihe besonderer Eigenschaften.



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-05-25 12:24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

ich habe jetzt ad hoc auch keine vernünftige Quelle. Jedenfalls bekommst du mittels der k. Ableitung der WeF eben gerade das k. faktorielle Moment.

Heißt hier: \(E([X]_k)=\lambda^k\). Schau mal in deinen Unterlagen nochmal, ob du dazu noch etwas findest. Ich bräuchte sonst eventuell bis morgen, um mir die Zeit zu nehmen, eine Begründung zu basteln. Vielleicht fällt aber auch noch dem einen oder der anderen Stochastik-Expertin (  wink ) etwas dazu ein...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-05-25 13:07


Man kann doch die Definition des Erwartungswertes einfach hinschreiben und ausrechnen:$$E\;[X]_k=
\sum_{n=0}^\infty[n]_k\,P(X=n)=
e^{-\lambda}\sum_{n=0}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1)\frac{\lambda^n}{n!}=
e^{-\lambda}\sum_{n=k}^\infty\frac{\lambda^n}{(n-k)!}=
\lambda^ke^{-\lambda}\sum_{m=0}^\infty\frac{\lambda^m}{m!}
=\lambda^k$$



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-05-25 13:42


@zippy:

Dankeschön!

Dann ist die Aufgabe mit Sicherheit genau so gemeint, und die WeF bleibt erstmal unbenutzt im Skript.  smile


Gruß, Diophant




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Kataaaa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25 13:59


Hey, ich danke euch beiden für die Hilfe.
Ich wäre persönlich nie darauf gekommen


Ich wünsche noch ein angenehmes Wochenende



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Kataaaa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25 15:35


Hallo, ich habe nun leider doch noch ein Problem und zwar wie kommt man auf diese Umformung?
$e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) \cdots(n-k+1) \frac{\lambda^{n}}{n !}=e^{-\lambda} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{\lambda^{n}}{(n-k) !}$

Also mein Problem hier ist die Indexverschiebung, ich sehe einfach nicht wie  $n(n-1) \cdots(n-k+1)$ verschwinden soll. Wenn wir bei $n=k$ starten, erhalten wir (jetzt wird es vlt peinlich, sry) $(n-k)(n-k-1) \cdots(n-k-k+1)$, würde aber keinen Sinn ergeben.  Kurz gesagt mir fehlt der geübte Blick dafür.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-05-25 15:45

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

2019-05-25 15:35 - Kataaaa in Beitrag No. 11 schreibt:
Hallo, ich habe nun leider doch noch ein Problem und zwar wie kommt man auf diese Umformung?
$e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) \cdots(n-k+1) \frac{\lambda^{n}}{n !}=e^{-\lambda} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{\lambda^{n}}{(n-k) !}$

Durch Kürzen mit dem Term \(n\cdot(n-1)\cdot\dotsc\cdot(n-k+1)=\frac{n!}{k!}\).

EDIT: das war ein Fehler meinerseits. Natürlich ist

\[n\cdot(n-1)\cdot\dotsc\cdot(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}\]
Wie zippy in Beitrag #16 richtig angemerkt hat.

Da \(n\) gleichzeitig Summationsindex ist, beginnt dieser Index danach erst bei \(n=k\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kataaaa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25 16:24


Hallo,

Ok also fürs Protokoll:)
$e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) \cdots(n-k+1) \frac{\lambda^{n}}{n !} = e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{k!} \frac{\lambda^{n}}{n !} = e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{k!} \frac{\lambda^{n}}{n !} = e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty}  \frac{\lambda^{n}}{k!}$
Und dann erhöht man den Idex? Macht das Sinn?
Ja irgendwie schon, ach man ich muss mich unbedingt an die Uni Mathematik gewöhnen:)


Eine andere Frage muss ich denselben Prozess nun noch einmal für $\mathbb{E} X^{2} = \mathbb{E} [X^{2}]$ anwenden?

Würde da ${\lambda}^{2k}+\lambda^k$ rauskommen?

LG
Kata



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-05-25 16:34

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo nochmals,

2019-05-25 16:24 - Kataaaa in Beitrag No. 13 schreibt:
Hallo,

Ok also fürs Protokoll:)
$e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) \cdots(n-k+1) \frac{\lambda^{n}}{n !} = e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{k!} \frac{\lambda^{n}}{n !} = e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{k!} \frac{\lambda^{n}}{n !} = e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty}  \frac{\lambda^{n}}{k!}$

Ups, da hast du jetzt aber einige Fehler eingebaut, vergleich nochmal mit Beitrag #8!

2019-05-25 16:24 - Kataaaa in Beitrag No. 13 schreibt:
Und dann erhöht man den Idex? Macht das Sinn?
Ja irgendwie schon, ach man ich muss mich unbedingt an die Uni Mathematik gewöhnen:)

Das macht sogar hochgradig Sinn (man hätte sonst negative und einen nicht definierten Summanden!). Nur bin ich mir in einer Sache gerade auch nicht mehr sicher (vielleicht sagt zippy später noch etwas dazu). Ich bin nämlich der Meinung, dass man den Faktor \(\lambda^k\) vor oder gleichzeitig mit dem Kürzen vor die Summe ziehen muss und nicht erst danach, wie oben geschehen. Das Resultat passt aber jedenfalls.

Siehe dazu Beitrag #16 von zippy.

2019-05-25 16:24 - Kataaaa in Beitrag No. 13 schreibt:
Eine andere Frage muss ich denselben Prozess nun noch einmal für $\mathbb{E} X^{2} = \mathbb{E} [X^{2}]$ anwenden?

Würde da ${\lambda}^{2k}+\lambda^k$ rauskommen?

Nein, es ist \(E(X^2)=\lambda^2+\lambda\). Das rechnest du auch wieder über die Definition des Erwartungswertes aus (und auf der oben verlinkten Wikipedia-Seite hast du einen Spoiler ;-) ).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kataaaa
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25 16:57


Hey, leider weiß ich nicht so richtig wie man hier Zitiert, deswegen muss es nun mit den üblichen ""  funktionieren,sry:)

"Nein, es ist $E(X^2)=λ^2+λ$. Das rechnest du auch wieder über die Definition des Erwartungswertes aus (und auf der oben verlinkten Wikipedia-Seite hast du einen Spoiler ;-) )."

Ja, dies habe ich zwei Aufgaben vorher schon selbst bewiesen, deswegen glaube ich nicht, dass man es in der Aufgabe erneut tun soll, sondern so wie man es mit $[X]_{k}$ gemacht hat. Würde ja keinen Sinn machen dies zweimal zu tun, oder?

Edit: Ich sehe hier gerade, das beim kopieren etwas von der Aufgabenstellung entfallen ist, es müsste dann noch weiter lauten "Berechnen Sie damit $\mathbb{E} X^{2}$". Also ich soll mit dem Ergebnis von $[X]_{k}$, $\mathbb{E} X^{2}$ berechnen, so würde ich dies nun interpretieren.


"Ups, da hast du jetzt aber einige Fehler eingebaut, vergleich nochmal mit Beitrag #8!"

In wiefern?

Meine Frage hat sich dort nur auf die Umformung bezogen, also nur auf den Teil der für mich nicht verständlich war. Ich habe dann nur das angewendet was du gesagt hat, natürlich ersteinmal ohne den Index auf $n=k$ zu setzen. Ich habe immer große Probleme, wenn man 3-5 Schritte überspringt, die für mich nicht trivial sind, alleine $\frac{n!}{k!}$ hätte ich niemals heraus gelesen.

Wenn ich nun aber kürze, komme ich doch genau auf $e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^{n}}{k !}$ ?

Und im nächsten Schritt wird dann, wie auch immer, bzw wie auch immer :) $e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^{n}}{(n-k) !}$ gesetzt.



Liebe Grüße
Kata



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-05-25 16:58


2019-05-25 16:24 - Kataaaa in Beitrag No. 13 schreibt:
$e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) \cdots(n-k+1) \frac{\lambda^{n}}{n !} = e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{k!} \frac{\lambda^{n}}{n !} = e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{k!} \frac{\lambda^{n}}{n !} = e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty}  \frac{\lambda^{n}}{k!}$
Und dann erhöht man den Idex?

Die Formel für $n(n-1)\,\cdots(n-k+1)$, die Diophant in Beitrag Nr. 12 hingeschrieben hat, ist falsch:

2019-05-25 15:45 - Diophant in Beitrag No. 12 schreibt:
\(n\cdot(n-1)\cdot\dotsc\cdot(n-k+1)=\frac{n!}{k!}\).

Tatsächlich ist $\displaystyle
n\cdot(n-1)\cdot\dotsc\cdot(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}
$.

Wichtig ist außerdem, dass die linke Seite für $0\le n\le k-1$ verschwindet.

Also kann man als ersten Schritt den Summationsindex erst bei $n=k$ loslaufenlassen, weil vorher nur nullen aufsummiert werden:$$
\sum_{n=0}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1)\frac{\lambda^n}{n!} =
\sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1)\frac{\lambda^n}{n!}
$$Dann kann man kürzen:$$
\sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1)\frac{\lambda^n}{n!} =
\sum_{n=k}^\infty \frac{\lambda^n}{(n-k)!}
$$Und als Letztes kann man den Index mit $m:=n-k$ verschieben:$$
\sum_{n=k}^\infty \frac{\lambda^n}{(n-k)!} =
\sum_{m=0}^\infty \frac{\lambda^{m+k}}{m!} =
\lambda^k\sum_{m=0}^\infty \frac{\lambda^m}{m!}$$

2019-05-25 16:24 - Kataaaa in Beitrag No. 13 schreibt:
Eine andere Frage muss ich denselben Prozess nun noch einmal für $\mathbb{E} X^{2} = \mathbb{E} [X^{2}]$ anwenden?

Das solltest du nicht. Der Sinn der Aufgabe ist gerade, dass sich für die Poissonverteilung $E\,[X]_k$ leichter als $E\,X^k$ ausrechnen lässt. Also solltest du $X^2=[X]_2+[X]_1$ ausnutzen.



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Kataaaa
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25 17:36


Hallo,
Ja, nun macht es Sinn.

Ich danke euch beiden für die Hilfe




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