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Funktionentheorie » Holomorphie » Polstellen und wesentliche Singularitäten
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Universität/Hochschule J Polstellen und wesentliche Singularitäten
erik92
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  Themenstart: 2019-05-30

Guten morgen ich sitze seit 3-4 Tagen an folgender Aufgabe: Sei f holomorph auf (Ω \ {z0}). Zeigen Sie: (a) z0 ist genau dann eine Polstelle von f, wenn limz→z0 |f(z)| = ∞. (b) z0 ist genau dann eine wesentliche Singularität, wenn zu jedem w0 ∈ C eine Folge (zn) ⊂ Ω \ {z0} existiert mit zn → z0 und f(zn) → w0, d.h. f(D(z0, r) \ {z0}) liegt dicht in C für alle r > 0 mit D(z0, r) ⊂ Ω. Ich hab nun folgende Probelme. bei b) hab ich keine wirklich Idee wenn ich ehrlich bin für a) kenne ich die eine Richtung: wenn in z0 ein Pol vorliegt kann man sich die holomorphe Fortsetzung von f in z0 anschauen und damit schlussfolgern, das der lim ∞ ist. Kann ich jetzt einfach diesen Beweis umdrehen und sagen, dass wenn der lim ∞ ist schaue ich mir einfach die holomorphe Fortsetzung von f in z0 an und zeige dann ,dass ein Pol vorliegt? Eigentlich kann ich doch aus limz→z0|f(z)| = ∞ nicht folgern, dass f dort überhaupt eine holomorphe Fortsetzung hat oder?


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Ex_Senior
  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-01

Hallo, bei a) betrachtest Du die Funktion $\frac{1}{f}$. Nützlich ist hier: $g$ hat hebbare Singularität in $z_0 \iff$ g ist beschränkt in einer punktierten Umgebung $B_r(z_0)\backslash \{z_0\}$ von $z_0$. Diese Aussage kannst Du auch für b) verwenden. Fall es ein $c\in\IC$ gibt, welches sich nicht als Grenzwert darstellen läßt, schauen wir uns die Funktion $\frac{1}{f(z)-c}$ an, um einen Widerspruch zu erzeugen. \quoteon wenn in z0 ein Pol vorliegt kann man sich die holomorphe Fortsetzung von f in z0 \quoteoff Richtig wäre die holomorphe Fortsetzung von $(z-z_0)^kf(z)$, wobei k die Ordnung des Pols ist.


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erik92
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-01

Hallo Tom, danke für deine Antwort. Eine Frage zur anderen Richtung: Wenn ich aus lim(x->a,abs(f(x)))=\inf folgern will, dass f in a einen Pol hat. Kann ich dann "einfach" schreiben, dass f in einer beliebig kleinen Umgebung um a holomorph ist (nach Voraussetzung) und das damit ein k\el\ \IN ex. muss s.d. lim(x->a,(x-a)^k f(x)) ex. muss? Also reicht diese Argumentation?


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Ex_Senior
  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-01

Der Hinweis war schon für "$\lim_{z\to a} |f(z)|=\infty \Rightarrow$ Polstelle" gedacht. So einfach kannst Du hier nicht argumentieren. Irgendwie muß begründet werden, dass $(z-a)^kf(z)$ in $a$ fortsetzbar ist. Die Bedingung $\lim_{z\to a} |f(z)|=\infty$ kannst Du verwenden, um etwas über $\frac{1}{f}$ in einer Umgebung von $a$ auszusagen.


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erik92
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-01

Hm okay aber ich sehe nicht was ich sagen kann, außer das 1/f gegen 0 geht


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Ex_Senior
  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-01

Damit hat 1/f eine hebbare Singularität und hat dort sogar eine Nullstelle ...


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erik92
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-01

Ah weil 1/f holomorph in der Umgebung von a ist und bei a konvergiert, kann man den Riemannschen Hebbarkeitssatz anwenden. Oder? Und da 1/f eine Nst bei a hat, hat f dort einen Pol? :-o


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Ex_Senior
  Beitrag No.7, eingetragen 2019-06-01

Ja, genau so. Dabei entspricht die Nullstellenordnung der Polstellenordnung.


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erik92
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-01

Ah okay vielen Dank Tom jetzt hat es endlich klick gemacht :-)


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