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Lineare Algebra » Determinanten » Determinantenabbildung als Homomorphismus
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Universität/Hochschule Determinantenabbildung als Homomorphismus
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-30


Es ist ein wohlbekannter Satz, dass sich die Determinantenabbildung $\mathrm{det}$, die ja normalerweise von $R^{n\times n}$ nach $R$ geht, zu einem Homomorphismus $\mathrm{GL}_n(R)\to R^{\times}$ zwischen Gruppen einschränkt. Was mich schon längere Zeit an dieser sehr üblichen Formulierung des Satzes stört: Wieso schränkt man die Determinantenabbildung überhaupt zu einer Abbildung zwischen Gruppen ein? Wieso sagt man nicht einfach, dass $\mathrm{det}\colon (R^{n\times n}, \cdot)\to (R, \cdot)$ ein Homomorphismus zwischen Magmas ist? (Für einen Homomorphismus ist es ja "egal", welche Axiome die beiden Strukturen $(R^{n\times n}, \cdot)$, $(R, \cdot)$ erfüllen, deswegen kann ich hier von "Magmas" sprechen.) Das würde dann besagen, dass
$$\mathrm{det}(AB)=\mathrm{det}(A)\cdot \mathrm{det}(B)$$ für alle $A, B\in R^{n\times n}$ gilt, und nicht nur für invertierbare Matrizen $A$, $B$.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-04


Es richtig, dass $\mathrm{det}$ in dieser Form ein Homomorphismus von Magmen bzw. sogar Monoiden ist. Es ist einfach die allgemeine Multiplikativität von Determinanten, die auch in Texten zur (linearen) Algebra durchaus nicht nur für invertierbare Matrizen erwähnt wird. Noch allgemeiner kann man das auch so sehen: Für jeden Funktor $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ und jedes Objekt $X \in \mathcal{C}$ hat man einen Monoidhomomorphismus $\mathrm{End}(X) \to \mathrm{End}(F(X))$. Das wendet man auf den Funktor $\Lambda^n : \mathbf{Mod}_R \to \mathbf{Mod}_R$ und das Objekt $R^n \in \mathbf{Mod}_R$ an.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-04


Übrigens kann man die Aussage

$\forall R \in \mathbf{CRing}~ \forall A,B \in M_n(R) : \mathrm{det}(A \cdot B) = \mathrm{det}(A) \cdot \mathrm{det}(B)$

auf die schwächere Aussage

$\forall K \in \mathbf{Fld} ~ \forall A,B \in \mathrm{GL}_n(K) : \mathrm{det}(A \cdot B) = \mathrm{det}(A) \cdot \mathrm{det}(B)$
 
zurückführen (und dieselbe Methode funktioniert auch bei komplizierteren Sätzen wie etwa $\chi_{AB}=\chi_{BA}$ für das charakteristische Polynom eines Produktes).

Betrachte den Polynomring $P = \IZ[(X_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n},(Y_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}]$ und den Homomorphismus $f : P \to R$, der durch $X_{i,j} \mapsto A_{i,j}$ und $Y_{i,j} \mapsto B_{i,j}$ gegeben ist. Wir haben die universellen Matrizen $X := (X_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in M_n(P)$, $Y := (Y_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in M_n(P)$. Wenn die Behauptung für $X$ und $Y$ gilt, dann gilt sie auch für $A$ und $B$; das folgt letztlich daraus, dass $M_n : \mathbf{CRing} \to \mathbf{CMon}$ ein Funktor mit $M_n(f)(X)=A$ und $M_n(f)(Y)=B$ ist und dass $\mathrm{det}$ eine natürliche Transformation ist:

$\begin{align*}
\mathrm{det}(A \cdot B) &= \mathrm{det}(M_n(f)(X) \cdot M_n(f)(Y)) \\
&= \mathrm{det}(M_n(f)(X \cdot Y)) \\
&= f(\mathrm{det}(X \cdot Y)) \\
&= f(\mathrm{det}(X)  \cdot \mathrm{det}(Y)) \\
&= f(\mathrm{det}(X))  \cdot  f(\mathrm{det}(Y))  \\
&= \mathrm{det}(M_n(f)(X)) \cdot  \mathrm{det}(M_n(f)(Y)) \\
&= \mathrm{det}(A) \cdot   \mathrm{det}(B)
\end{align*}$
 
Um nun die Behauptung für $X$ und $Y$ zu zeigen, verwenden wir die Einbettung von $P$ (was ein Integritätsring ist!) in seinen Quotientenkörper $i : P \to K$, dessen genaue Gestalt hier völlig unerheblich ist. Die Matrix $X':=M_n(i)(X) \in M_n(K)$ ist invertierbar, denn (wir verwenden wieder die Natürlichkeit der Determinante)

$\mathrm{det}(M_n(i)(X)) = i(\mathrm{det}(X))$
 
und $\mathrm{det}(X) \neq 0$ (das sieht man etwa mit der Leibniz-Formel). Analog ist $Y':=M_n(i)(Y)$ invertierbar. Aus $\mathrm{det}(X' \cdot Y') = \mathrm{det}(X') \cdot \mathrm{det}(Y')$ folgt daher (wieder unter Verwendung der Natürlichkeit)

$\begin{align*}
i(\mathrm{det}(X \cdot Y)) & =\mathrm{det}(M_n(i)(XY))\\
& = \mathrm{det}(M_n(i)(X)  \cdot M_n(i)(Y)) \\
& =\mathrm{det}(M_n(i)(X))  \cdot \mathrm{det}(M_n(i)(Y)) \\
& = i(\mathrm{det}(X))  \cdot i(\mathrm{det}(Y)) \\
&= i(\mathrm{det}(X) \cdot  \mathrm{det}(Y)),
\end{align*}$
 
wegen der Injektivität von $i$ also $\mathrm{det}(X \cdot Y) = \mathrm{det}(X) \cdot  \mathrm{det}(Y)$.



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