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Analysis » Funktionalanalysis » Linearer Operator in l^1
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Universität/Hochschule Linearer Operator in l^1
Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-31


Hallo an alle, ich erbitte eure Hilfe bei einer Funktionalanalysisaufgabe, bei der ich nicht weiterkomme.
Sie lautet: fed-Code einblenden

So die eine Seite ist klar. Nämlich "\subsetequal\". Die andere Seite macht mir aber schon ganz grundsätzlich Probleme. Ich weiß nicht, wie ich mit dem Abschluss des Bildes umgehen soll. Kann mir jemand bitte einen Ansatz geben und mir helfen?

LG Mathsman
fed-Code einblenden



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-31

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Hallo Mathsman,

hier ist vom Abschluss des Bildes die Rede, weil das Bild selbst nicht ganz $\ell^1$ ist. Zum Beispiel liegt die Folge $(a_n)_n,~a_n=\frac{1}{n^2}$ nicht in $\operatorname{ran}(T)$, denn das einzig mögliche Urbild wäre $(b_n)_n,~b_n=\frac{1}{n}$. Da aber $\Vert b_n\Vert_1=\infty$ ist $(b_n)_n$ nicht in $\ell^1$, also $(a_n)_n$ nicht in $\operatorname{ran}(T)$.
Man kann aber jede Folge aus $\ell^1$ durch Folgen aus $\operatorname{ran}(T)$ approximieren. Mein Hinweis: Wenn es eine Folge $x_n\in\operatorname{ran}(T)$ gibt, sodass $\lim_{n\to\infty}x_n=x$, dann ist $x\in\overline{\operatorname{ran}(T)}$. ($x$ und $x_n$ sind hier jeweils selbst Folgen, du betrachtest also Folgen von Folgen). Du musst also für jede Folge $x\in\ell^1$ eine Folge $(x_n)_n,~x_n\in\operatorname{ran}(T)$ finden, welche gegen $x$ konvergiert (bezüglich der $\Vert\cdot\Vert_1$-Norm).

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-31


2019-05-31 20:48 - Mathsman im Themenstart schreibt:
Ich weiß nicht, wie ich mit dem Abschluss des Bildes umgehen soll.

Nimm dir einen beliebigen Vektor $x\in\ell^1$ und betrachte die Folge $
x^{(n)}:=(x_1,x_2,\ldots,x_n,0,0,\ldots)$.

Überlege dir dann: (1) $x^{(n)}\to x$ und (2) $x^{(n)}\in\operatorname{ran}T$

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-01


Hallo also erstmal danke für eure beiden Antworten, jetzt hab ich glaub ich verstanden, was zu zeigen ist.
Wenn ich mir diese Folge von zippy ansehe, dann ist mir klar, dass x^(n):= (x1,x2,...,xn,0,0..) in ran (T) ist, weil die Summe über alle Folgenglieder im Urbild eine endliche Summe darstellt. (Nur endlich viele Folgenglieder sind ungleich 0)
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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-01


2019-06-01 23:24 - Mathsman in Beitrag No. 3 schreibt:
Nur ist das alles andere als ordentlich und genau.

Um das "ordentlich" zu machen, musst du nur ausnutzen, dass wegen $x\in\ell^1$ die Reihe $\sum_{k=1}^\infty|x_k|$ konvergiert.



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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-02


Hi kann ich dann wiefolgt argumentieren:
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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-06-02


2019-06-02 21:24 - Mathsman in Beitrag No. 5 schreibt:
Hi kann ich dann wiefolgt argumentieren ...

Ja, das ist in Ordnung.

Den entscheidenden Punkt kannst du auch so formulieren:$$\sum_{k=1}^\infty a_k\mkern 10mu\text{konvergiert}\implies\lim\limits_{N\to\infty}\sum_{k=N+1}^\infty a_k=0$$



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