Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionalanalysis » Funktionalanalysis: Operatornorm und Resolventenmenge
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Funktionalanalysis: Operatornorm und Resolventenmenge
Neymar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 672
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-01


Hallo alle zusammen,

ich gehe gerade ein paar Seiten von Michael Reeds und Berry Simons Buch ,,Functional Analysis" durch und habe eine Frage zu einem Beispiel.

"Let $T$ be the operator on $\ell_1$ which acts by $$T(\xi_1, \xi_2, \dots) = (\xi_2, \xi_3, \dots)$$ [...] The adjoint of $T$, $T'$, acts on $\ell_\infty$ by $$T'(\xi_1, \xi_2, \dots) = (0, \xi_1, \xi_2, \dots)$$ We first observe that $||T|| = ||T'|| = 1$, so that all $\lambda$ with $|\lambda| > 1$ are in $\rho(T)$ and $\rho(T')$."

Okay, hier die Definition von $\rho_T$:

"$\mathbf{\text{Definition}} \quad $  Let $T \in \mathcal{L}(X)$. A complex number $\lambda$ is said to be in the $\mathbf{\text{resolvent set}}$ $\rho(T)$ of $T$ if $\lambda I - T$ is a bijection with a bounded inverse."

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

(i) Warum gilt $||T|| = ||T'|| = 1$? Also die Norma auf dem Banachraum $(\ell_1, || \ . \ ||_{\ell_1})$ ist ja definiert als: $$||(x_n)_{n \in \mathbb{N}}||_{\ell_1} = \sum_{n = 1}^{\infty}|x_n|$$.

Also: $$||T|| = \sup_{(\xi_n)_{n \in \mathbb{N}} \ne 0}\left\{ \frac{||T(\xi_n)||}{||\xi_n||}\right\} = \sup_{(\xi_n)_{n \in \mathbb{N}} \ne 0}\left\{\frac{|\xi_2| + |\xi_3| + \dots}{|\xi_1| + |\xi_2| + \dots }\right\}$$
Aber ich komme noch nicht auf $||T|| = 1$.


(ii) Warum gilt $\lambda \in \rho(T) \quad \forall \lambda > |1|$? Also es wird noch folgendes Theorem von Reed und Simon bewiesen:

"$\mathbf{\text{Theorem VI.6}} \quad$ Let $X$ be a Banach space, $T \in \mathcal{L}(X)$. Then $\lim\limits_{n \to \infty} ||T^n||^{1/n}$ exists and is equal to $r(T)$ [$r(T) := \sup_{\lambda \in \sigma(T)}|\lambda|$]. [...]"

Falls dieses Theorem die Antwort meiner Frage ist, dann sehe ich noch nicht, warum $\lim\limits_{n \to \infty} ||T^n||^{1/n} = 1$ gelten sollte $\dots$


Vielen Dank im Voraus.

Gruß



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 568
Wohnort: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-01


Hey

Zunächst solltest du aufpassen, was Folgen sind, und was Folgenglieder sind. So taucht z.b. $T(\xi_n)$ aber es müsste $T( (\xi_n)_{n\in\mathbb{N}})$ sein.
Zu i) Hilft dir bereits $||T((\xi_n)_n)||=||(\xi_n)_n||-||\xi_1||$? Du solltest auf etwas der Form $1-\frac{||\xi_1||}{||(\xi_n)_n||}$ stoßen.


Zu ii) Ich würde mit der Neumann Reihe arbeiten. Das $T$ aus dem Wikipedia ist dann $\frac{1}{\lambda} T$. Für $|\lambda|>1$ ist $||\frac{1}{\lambda} T||<1$ und die Neumann Reihe $A=Id-\frac{1}{\lambda} T$ konvergiert , ist invertierbar und erfüllt $||A^{-1}||\leq(1-\frac{1}{\lambda} ||T||)^{-1}$ ist also beschränkt, da $||T||=1$. Damit ist auch $\lambda A=\lambda Id -T$ invertierbar, und die Inverse ist beschränkt, also ist $\lambda\in p(T)$

Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neymar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 672
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-01


Zunächst solltest du aufpassen, was Folgen sind, und was Folgenglieder sind. So taucht z.b. $T(\xi_n)$ aber es müsste $T( (\xi_n)_{n\in\mathbb{N}})$ sein.

$>$ Ja, danke für den Hinweis. Ich glaube, du hast dich einmal verschrieben: Es sollte vermutlich $1 - \frac{|\xi_1|}{||(\xi_n)_{n \in \mathbb{N}}||}$ heißen. :-) Aber darauf komme ich auch. Damit gilt also: $||T|| \leq 1$. Vermutlich muss man jetzt eine Folge so finden, die genau $||T|| = 1$ erfüllt.


(ii) schaue ich mir dann später an.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 568
Wohnort: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-01


2019-06-01 12:33 - Neymar in Beitrag No. 2 schreibt:
Vermutlich muss man jetzt eine Folge so finden, die genau $||T|| = 1$ erfüllt.

Es genügt, wenn du beliebig nah an $1$ dran kommst.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]