Hallo, auf meinem aktuellen Übungszettel habe ich folgende Aufgabe:

Sei \Omega\subset\ \IC ein einfach zusammenhängendes Gebiet mit \Omega!=\IC . Zeigen Sie, dass für jedes z_0 \el\ \Omega genau eine biholomorphe Abbildung f: \Omega -> \ID ex. mit f( z_0 ) = 0 und f'( z_0 ) > 0.

Ich habe mir nun gedacht, dass nach dem Riemannschen Abbildungssatz jedes einfach zusammenhängende Gebiet, dass eine echte Teilmenge von \IC ist, biholomorph äquivalent zu \ID ist. D.h. es ex. g: \Omega -> \IC ,wobei g biholomorph ist.

Angenommen g( z_0 ) = 0 , dann ist z_0 eine einfache Nst. von g, da g bijektiv ist. Also folgt g'( z_0 )!=0.

Angenommen g( z_0 ) != 0, dann ist f:\Omega -> \ID , f(z)=g(z)-g( z_0 ) ebenfalls biholomorph und es gilt f'( z_0 ) != 0 , da f wieder bijektiv ist.

Nun habe ich aber zwei Probleme:

1. Weiß ich nicht wie ich zeigen soll, dass die Ableitung bei z_0 größer 0 ist.

2. Weiß ich nicht wie ich zeigen soll, dass es nur genau eine Abbildung gibt die diese Eigenschaften erfüllt. 

Kann mir hier jemand weiterhelfen? 

Hallo Tom, 

vielen Dank für deine Antwort. Ich hab mir noch etwas zum Abbildungssatz von Riemann durchgelesen und wenn ich es richtig verstehe müsste die Idee hier sein:

Nach dem Riemannschen Abbildungssatz ex. h:\Omega->\ID, h biholomorph. Nun verknüpft man dieses h mit der Möbiustransformation g die wohl die Form:

z -> exp(i\phi) (z-a)/(1-a^- z) ,wobei a=z_0

Diese Möbiustransformation g ist eindeutig, d.h. die Verknüpfung von h mit g ist eindeutig. 
Diese Verknüpfung ist unser gesuchtes f. Also f=h(g)

Nun bleibt nur noch z.z.

f(z_0 ) = h(g(z_0 )) = h(0) = 0?,

sowie der Teil mit der Ableitung.

Bei den beiden Punkten weiß ich aber gerade nicht weiter.
Ist diese ganze Konstruktion sinnig und falls ja hättest du eine Idee wie ich die letzten beiden Punkte zeigen kann?

g(0)=exp(i\phi)(0-a)/(a-0)=exp(i\phi)(-a)/a=-exp(i\phi)