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Lineare Algebra » Determinanten » Hauptminorenkriterium
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Universität/Hochschule Hauptminorenkriterium
Bubble123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-17


ich hätte eine ganz kurze Frage zum Hauptminorenkriterium. Darf ich davor Gaussen?
Leider finde ich auf Anhieb nichts im Internet. Ich denke es müsste schon erlaubt sein, da ja Eigenwerte... auch gleich bleiben aber ich hoffe jemand hat eine schnelle Antwort für mich!



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-17


Hey Bubble123,

das Addieren eines vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile mag ja die Determinante der gesamten Matrix erhalten, i.A. nicht jedoch der Untermatrizen.
Bsp: Betrachte eine 3x3-Matrix. Addierst du nun die dritte Zeile zur ersten Zeile, werden sich i.A. die Determinanten der ersten beiden führenden Hauptminoren ändern. Diese wissen ja nichts von der dritten Zeile...

Eigenwerte bleiben beim Gauß-Algorithmus nicht erhalten.

Du darfst also i.A. nicht beliebig gaußen. Man kann sich sicher überlegen, was man alles beachten muss, damit man dennoch "ein bisschen gaußen" kann (beispielsweise sollte es erlaubt sein, vielfache der ersten Zeile zu anderen Zeilen hinzu zu addieren), ich denke aber, dass sich das gar nicht lohnt



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Bubble123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-17


okay Vielen Dank das war mir gar nicht so bewusst weil es jetzt auch bei drei Beispielen geklappt hat(war wohl zufall)



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-17


Meinst du, dass das Hauptminorenkriterium trotzdem geklappt hat oder dass die Eigenwerte die gleichen waren?



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Bubble123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-18


Das Hauptminorenkriterium hat trotzdem geklappt.

Und noch eine kurze Frage wenn ich jetzt die Eigenwerte ausrechne, d.h ich bestimme das charakteristische Polynom mittels der Determinante dann bekomme ich auch immer dieselben Eigenwerte, char Pol und alles ( also wenn ich vor dem bestimmen des char Pols Gausse)



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-18


Nein.
Wenn eine Matrix \(B\) aus einer Matrix \(A\) durch den Gauß-Algorithmus hervor geht, dann geht aber i.A. nicht unbedingt die Matrix \(B - \lambda E\) durch Gauß-Algorithmus aus der Matrix \(A - \lambda E\) für alle \(\lambda \in K\) hervor (\(E\) sei die Einheitsmatrix).

Versuche dir mal selbst ein Beispiel hinzuschreiben.



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Bubble123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-18


Okay ich glaube ich habe es verstanden.
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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-06-18


Also, der Gauß-Algorithmus selbst erhält schon die Determinante. Wenn du allerdings Zeilen vertauschst, musst du ein - spendieren, was bei dir jetzt auch geschehen ist.
Das meinte ich aber nicht.
Versuche doch mal ein Beispiel für zwei Matrizen zu finden, die per Gauß-Algorithmus (ohne Zeilen vertauschen) hervorgehen und berechne jeweils die Eigenwerte.



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