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Mathematik » Stochastik und Statistik » Wahrscheinlichkeiten bei einer multivariaten Verteilung
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Universität/Hochschule Wahrscheinlichkeiten bei einer multivariaten Verteilung
RapSch
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 05.01.2019
Mitteilungen: 10
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-18


Liebe Leute!

Ich habe eine Frage bzgl. einer Statistik-Hausaufgabe. Es geht um eine bivariate, stetige Verteilung.
Es war die Dichte
\[ f(x,y) = (x+y) \cdot I_{[0,1]}\cdot I_{[0,1]} \] für \(x,y\in \mathbb{R}\) gegeben. Dabei ist \(I\) die Indikatorfunktion. Es sollte die zugehörige Verteilungsfunktion bestimmt werden. Diese habe ich wie folgt:
\[ F(x,y) = \begin{cases} 0 & x\leq 0 \lor y\leq 0\\
\frac{1}{2}(x^2y + xy^2) & x,y\in (0,1)\\
\frac{1}{2} (x^2+x) & x\in (0,1), y \geq 1\\
\frac{1}{2} (y^2+y) & y\in (0,1), x \geq 1\\
1 & x,y \geq 1 \end{cases} \] Ich hoffe, diese habe ich soweit richtig bestimmt. Nun sollen noch die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse berechnet werden.

\( \{ X\leq \frac{7}{12}\},~\{ X\leq \frac{7}{12}, Y = \frac{7}{12}\},~\{ X > Y\} \)

Hierbei bin ich etwas am stocken. Zum ersten Fall: Für \(y\) ist kein Wert gegeben. Ist es dann richtig, hier eine Fallunterscheidung für \(y\) zu machen?

Zur zweiten Menge: Da die Verteilung stetig ist, ist die Wahrscheinlichkeit für \(Y = \frac{7}{12}\) ja \(0\). Nehme ich richtig an, dass dann die Wahrscheinlichkeit für die gesamte Menge \(0\) wird?

Zum dritten: Hier habe ich bisher keine Idee und wäre für jeden Denkanstoß dankbar.

Vielen Dank im Voraus und einen schönen Abend, RapSch



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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5029
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-18


Hallo RapSch,

die Funktion soll wohl lauten \(f(x,y) = (x+y) \cdot I_{[0,1]}(x)\cdot I_{[0,1]}(y)\). Richtig? Ergibt sonst nicht so viel Sinn.

F hast du richtig berechnet, soweit ich das sehe.

Im ersten Fall ist keine Fallunterscheidung zu machen. Zu berechnen ist \(\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^{7/12}f(x,y)dxdy\).

Zur zweiten Menge: Ja, richtig!

Zum dritten: Berechne \(\int_{-\infty}^\infty\int_{y}^{\infty}f(x,y)dxdy\).



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1421
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

2019-06-18 20:30 - RapSch im Themenstart schreibt:
...
Es sollte die zugehörige Verteilungsfunktion bestimmt werden. Diese habe ich wie folgt:
\[ F(x,y) = \begin{cases} 0 & x\leq 0 \lor y\leq 0\\
\frac{1}{2}(x^2y + xy^2) & x,y\in (0,1)\\
\frac{1}{2} (x^2+x) & x\in (0,1), y \geq 1\\
\frac{1}{2} (y^2+y) & y\in (0,1), x \geq 1\\
1 & x,y \geq 1 \end{cases} \] Ich hoffe, diese habe ich soweit richtig bestimmt...

Ich hätte hier eine Kleinigkeit auszusetzen. Die Intervallgrenzen werden doch heutzutage stets im Sinne der Rechtsstetigkeit so gesetzt, dass die Intervalle nach unten abgschlossen und nach oben offen sind. Bei dir ist es teilweise andersherum. Auch wenn das hier zu keinen Problemen führt, ich würde es noch ändern.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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