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Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenz von Reihen
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Universität/Hochschule Konvergenz von Reihen
Maggis
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.12.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-19



Hallo liebe User,
ich hänge bei folgender Aufgabe ziemlich fest:
a) fed-Code einblenden

b) fed-Code einblenden

c) fed-Code einblenden

Also ich weis das ich bei a) und b) das Quotienten Kriterium und bei c) das Leibniz Kriterium anwenden soll. Allerdings weis ich hierbei nicht wirklich weiter
a) Hier komme ich soweit:
fed-Code einblenden
Allerdings weis ich nicht wie ich jetzt weiter machen muss, das selbe gilt bei b)

zu c) Also bei dem Leibniz Kriterium geht es ja darum das die Grenze der Summanden = 0 ist und die Koeffizienten Monoton fallend sind für alle n.
Also fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
aber irgendwie verstehe ich nicht wie ich hier auf das Ergebnis komme

Über Anregungen und Hilfe wäre ich sehr dankbar




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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1450
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

2019-06-19 18:17 - Maggis im Themenstart schreibt:
 
a) fed-Code einblenden

b) fed-Code einblenden

c) fed-Code einblenden

Also ich weis das ich bei a) und b) das Quotienten Kriterium und bei c) das Leibniz Kriterium anwenden soll. Allerdings weis ich hierbei nicht wirklich weiter
a) Hier komme ich soweit:
fed-Code einblenden
Allerdings weis ich nicht wie ich jetzt weiter machen muss, das selbe gilt bei b)

Na ja, bei der a) hast du einfach mittendrin aufgehört zu rechnen. Da kann man weiter kürzen  (mit \(3^k\)) und einen wichtigen Grenzwertsatz anwenden.

Bei der b) müsstest du uns schon dein Problem schildern.

2019-06-19 18:17 - Maggis im Themenstart schreibt:
zu c) Also bei dem Leibniz Kriterium geht es ja darum das die Grenze der Summanden = 0 ist und die Koeffizienten Monoton fallend sind für alle n.
Also fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
aber irgendwie verstehe ich nicht wie ich hier auf das Ergebnis komme

Vergrößert man bei einem (positiven) Bruch den Nenner, verringert sich sein Wert. Du hast hier ja

\[\left|a_k\right|=\frac{1}{\sqrt{4k+1}}\quad,\quad\left|a_{k+1}\right|=\frac{1}{\sqrt{4k+5}}\]

Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Folgen und Reihen' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2174
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-19


Hallo,

ich gehe mal davon aus, dass die ganzen $K$ eigentlich $k$ sein sollen.

Bei der a) kannst du erstmal weiter kürzen und erhältst

$\frac{3(k+1)^3}{5k^3}=\frac{a_{k+1}}{a_k}$

Nun Untersuche den Grenzwert $\lim_{k\to\infty} \frac{a_{k+1}}{a_k}$

Welche Schlüsse kannst du daraus ziehen?


Die b) geht dann auch mit dem Quotientenkriterium.

Zu der c):

Anwenden möchtest du das Leibniz-Kriterium.
Laut diesem Kriterium konvergiert eine Reihe, wenn über eine monotone (wachsend oder fallend) Nullfolge mit alternierendem Vorzeichen summiert wird.

Zeigen musst du als:

$\lim_{k\to\infty} \frac{1}{\sqrt{4k+1}}=0$

Und $\frac{1}{\sqrt{4k+1}}>\frac{1}{\sqrt{4(k+1)+1}}$


aber irgendwie verstehe ich nicht wie ich hier auf das Ergebnis komme

Was meinst du mit 'Ergebnis'?
Den Reihenwert kannst du mit Konvergenzkriterien nicht berechnen.
Nur eine Aussage über die Konvergenz machen.
Und für den Nachweis der Konvergenz mittels Leibniz-Kriterium, reicht es obige Bedingungen zu zeigen.

Die Konvergergenz der Folge sollte dir dabei klar sein, da entsprechende Folgen in der Vorlesung bestimmt untersucht wurden.

Die Monotonie ist eine einfache Rechnung mit Ungleichungen.

:)

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Maggis
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.12.2018
Mitteilungen: 34
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-19


auf jeden Fall  danke für eure antworten.
Ja die Sache mit dem kürzen meinte ich, ich wusste nicht wirklich wie ich hiebei weiter kürzen sollte.

was auch mein Problem bei b ) beschreibt;
Hierbei komme ich dann auf fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
aber verstehe nicht wirklich was ich hier noch kürzen kann



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1450
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

da hast du einen Denkfehler: es ist

\[\frac{\frac{(k+1)!^2}{(2k+2)!}}{\frac{k!^2}{(2k)!}}=\frac{(k+1)!^2}{(2k+2)!}\cdot\frac{(2k)!}{k!^2}=\frac{(k+1)^2}{(2k+2)(2k+1)}\]
Und davon der Grenzwert sollte jetzt machbar sein...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Maggis
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-19


ah, danke für den Hinweis. Jetzt ist es in der Tat nicht so schwer Grenzwert zu bekommen



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