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Funktionentheorie » Holomorphie » Sup eines Integrals, holomorphe Funktion auf dem Einheitskreis, absolut integrierbar
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Universität/Hochschule J Sup eines Integrals, holomorphe Funktion auf dem Einheitskreis, absolut integrierbar
erik92
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  Themenstart: 2019-06-20

Hallo ich verzweifel seit einigen Tagen an folgender Aufgabe: Sei f\el\ L_1(\ID) und H={h\el\ \IH(\ID) : abs(h(z))<=1 \forall\ z\el\ \ID}. Zeigen Sie es ex. ein h_0 \el\ H mit: abs(int(f(z)h_0 (z)d\lambda_2,,\ID,))=sup_(h\el\ H) abs(int(f(z)h(z)d\lambda_2,,\ID,)) Zunächst hatte ich erstmal große Probleme damit überhaupt zu verstehen, was ich hier eigentlich vor mir habe. Inzwischen weiß ich, dass f\el\ L_1 bedeutet, dass f absolut integrierbar ist, d\lambda_2 ist das Lebesgue-Maß auf dem \IR^2 und h ist die Menge aller Abbildungen, die holomorph auf dem Einheitskreis sind und auch wieder auf diesen abbilden. Des weiteren habe ich das Integral über \ID umgeformt zu: abs(int(f(z)h_0 (z)d\lambda_2,,\ID,)) = abs(int(int(f(z)h_0 (z),y,0,sqrt(1-x^2)),x,0,1)) , da für z\el\ \ID gilt: abs(z)<=1 -> sqrt(x^2+y^2)<=1 -> x^2+y^2<=1 mit x=Re(z) und y=Im(z). Hier weiß ich jetzt aber nicht wie ich weiter machen soll. Eigentlich muss ich ja nur zeigen, dass ein h\el\ H ex., s.d. das sup tatsächlich angenommen wird. Mein Problem ist nun aber, dass ich nicht sehe welche Aussagen ich nachdem ich das Integral umgeformt habe weiter über dieses treffen kann (außer dass es existiert). Ich war schon bei meinem Übungsleiter und dieser hat mir bestätigt, dass ich hier auf dem richtigen Weg bin. Allerdings wollte oder durfte er mir nicht sagen, wie ich hier weiter machen kann. Hätte hier evtl. noch jemand eine Idee?


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Ex_Senior
  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-20

Hallo Erik, so ganz habe ich die Aufgabe noch nicht durchschaut. Ich würde folgendes versuchen (*). Es gibt eine Folge $(h_n(z))_\IN$, s.d. \[sup=\lim_{n\to\infty}\left| \int_\mathbb{D}f(z)h_n(z)d\lambda_2 \right|\] Wenn man nun zeigen kann, dass $(h_n(z))_\IN$ bezüglich der Supremumsnorm einen Häufungspunkt hat, können wir eine Teilfolge wählen, die lokal gleichmäßig in $\mathbb{D}$ konvergiert. Der Grenzwert sollte dann die gesuchte Funktion $h_0$ sein. * keine Ahnung, ob der Plan aufgeht.


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erik92
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-20

Hallo Tom, danke für deine Antwort :-) . In diese Richtung hatte ich auch schon überlegt, da der aktuelle Inhalt meiner Vorlesung gerade in diese Richtung geht :-D . Da du einen ähnlichen Gedanken hattest versuch ich mich nochmal ein bisschen an der Aufgabe, evtl. fällt mir bis morgen ja noch etwas dazu ein


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erik92
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-21

Hallo Tom, viel mehr ist mir zu der Aufgabe nicht mehr eingefallen. Allerdings glaube ich, dass man hier den Satz von Montel anweden könnte. Ich habe meine Idee aufgeschrieben und abgegeben. Mal schauen was draus wird ;-)


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Ex_Senior
  Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-21

\quoteon ... Satz von Montel ... \quoteoff Jetzt, wo Du es sagst. An den Satz hatte ich garnicht gedacht, klingt aber gut. Ein kurze Skizze der Lösung würde mich interessieren.


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erik92
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-21

Also eine komplette Lösung hatte ich auch nicht aber ich hatte überlegt, da meine Abbildungen aus der Menge h ja alle beschränkt sind, könnte ich mir eine Folge nehmen. Diese Folge hat dann eine kompakt konvergente Teilfolge. Diese kompakt konvergente Teilfolge müsste dann einen Häufungspunkt auf der Einheitkreisscheibe haben. Sicher bin ich mir aber nicht. Habe dann einfach hingeschrieben dieser Häufungspunkt wäre bzgl. der Sup-Norm und das die kompakt konvergente Teilfolge lokal glm konvergiert. Dieser Grenzwerte wäre dann h0. Ich glaub die Idee ist nicht so verkehrt, müsste aber nochmal ausgearbeitet werden. Dafür hatte ich vor der Abgabe aber keine Zeit mehr daher habe ich nur meine Idee hingeschrieben :-D


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Ex_Senior
  Beitrag No.6, eingetragen 2019-06-21

Es ist wirklich so einfach. $(h_n)$ ist beschränkt und hat nach Montel eine konvergente Teilfogle. Der Grenzwert $h_0$ erfüllt natürlich die Supremumsbedingung, da die Teilfolge ebenso die Supremunseigenschaft erfüllt. Noch ein Satz zur Vertauschbarkeit von Lim und Integral und der Beweis ist fertig.


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erik92
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-21

Oh dass ich hier mal eine richtige Idee hatte freut mich :-) Mal schauen wie viele Punkte ich auf meine Idee bekommen. Interessant finde ich aber, dass ich am Anfang ja überlegt hatte das Integral umzuformen und mein Übungsleiter mir sagte, dass das gar keine schlechte Idee sei. Wohin man damit soll ist mir allerdings nicht klar


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