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Funktionentheorie » Holomorphie » komplexe Partialbruchzerlegung 1/sin(pi z)
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Universität/Hochschule J komplexe Partialbruchzerlegung 1/sin(pi z)
erik92
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  Themenstart: 2019-06-25

Hallo ich verzweifel gerade ein wenig an folgender Aufgabe und wollte einmal fragen ob meine Idee überhaupt Sinn macht, oder ob es einen besseren Weg gibt: a) Beweisen Sie, dass cot(\pi z)+tan((\pi z)/2) = 1/sin(\pi z) ,z\notel\ \IZ\union\ (2\IZ+1) b) \pi/sin(\pi z) = 1/z + sum((-1)^k 2z/(z^2 - k^2),k=1,\inf ) ,z\notel\ \IZ Als Hinweis zu b) ist die folgende Gleichung angegeben: \pi tan(\pi z) = - sum(1/(z-k-1/2) + 1/(k+1/2),k\el\ \IZ,) ,z\notel\ \IZ+1/2 Meine Idee war nun (und ich denke dass diese viel zu umständlich ist) zunächst b) zu zeigen, indem ich den Hinweis und tan(z)=sin(z)/cos(z) benutze. D.h. ich nehme den Ausdruck \pi^2 /cos(\pi z) und teile diesen durch 1/z + sum((-1)^k 2z/(z^2 - k^2),k=1,\inf ) und zeige dann, dass - sum(1/(z-k-1/2) + 1/(k+1/2),k\el\ \IZ,) herrauskommt. Da gilt: (\pi^2 /cos(\pi z)) / (\pi/sin(\pi z)) = (\pi^2 /cos(\pi z)) (sin(\pi z)/\pi) = \pi sin(\pi z)/cos(\pi z) = \pi tan(\pi z) Anschließend würde ich dann a) mit Hilfe von b) zeigen. Allerdings komme ich bei meiner Idee nicht sehr weit, da z.B. die Eigenschaft, dass einmal z\notel\ \IZ+1/2 und einmal z\notel\ \IZ gilt mich schon sehr verunsichert wie ich überhaupt mit diesen Brüchen umgehen darf. Alternativ hab ich noch überlegt es andersrum zu lösen d.h. zuerst a) zeigen und dann zeigen, dass \pi (cot(\pi z)+tan((\pi z)/2)) eben die Summe in Teil b) ist. Allerdings hatte ich meine ursprüngliche sehr umständliche Idee zu b) ja erst, weil ich bei a) keinen Ansatz hatte. Kann mir hier evtl. jemand weiterhelfen?


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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-25

Für b) verwendest Du auf jeden a); einfach die Reihen für tan verwenden und $cot(\cdot)=tan(\ldots)$. Für a) kannst Du alle Funktion nach $\exp(\ldots)$ umwandeln und nachrechnen.


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erik92
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-26

Hallo Tom, gilt das Additionstheorem für Sinus und Cosinus auch in den Komplexen Zahlen? Dann könnte man alternativ bei a) auch wie folgt vorgehen: cot(z\pi)+tan(z\pi/2) = cos(z\pi)/sin(z\pi)+sin(z\pi/2)/cos(z\pi/2) erweitern = (cos(z\pi)cos(z\pi/2)+sin(z\pi)sin(z\pi/2))/(sin(z\pi)cos(z\pi/2) Additionstheorem = cos(z\pi-z\pi/2)/(sin(z\pi)cos(z\pi/2) = cos(z\pi/2)/(sin(z\pi)cos(z\pi/2) = 1/sin(z\pi) Bei b) hab ich aber noch ein paar Probleme. Ich habe folgendes probiert: \pi/sin(z\pi) nach a) = \pi cot(z\pi)+\pi tan(z\pi/2) Nun gilt: cot(a)=tan(\pi/2 -a) D.h. man könnte weitermachen mit: \pi cot(z\pi)+\pi tan(z\pi/2) = \pi tan(\pi/2-z\pi)+\pi tan(z\pi/2) = \pi tan(\pi(1/2-z))+\pi tan(\pi z/2) Nun benutzt man die Reihe aus dem Hinweis und erhält weiter: \pi tan(\pi(1/2-z))+\pi tan(\pi z/2) = - sum(1/(1/2 -z-k-1/2)+1/(k+1/2),k\el\ \IZ,) - sum(1/(z/2-k-1/2)+1/(k+1/2),k\el\ \IZ,) Diese zwei Summe kann man nun zusammenfassen zu: - sum(1/(1/2 -z-k-1/2)+1/(k+1/2),k\el\ \IZ,) - sum(1/(z/2-k-1/2)+1/(k+1/2),k\el\ \IZ,) = - sum(1/(-z-k)+1/(z/2-k-1/2)+2/(k+1/2),k\el\ \IZ,) Nun wieder erweitern: - sum(1/(-z-k)+1/(z/2-k-1/2)+2/(k+1/2),k\el\ \IZ,) = - sum((z/2-k-1/2)/((z/2-k-1/2)(-z-k))+(-z-k)/((-z-k)(z/2-k-1/2))+2/(k+1/2),k\el\ \IZ,) = - sum((-z/2 -2k-1/2)/((-z-k)(z/2-k-1/2))+2/(k+1/2),k\el\ \IZ,) erneut erweitern: - sum((-z/2 -2k-1/2)/((-z-k)(z/2-k-1/2))+2/(k+1/2),k\el\ \IZ,) = - sum((-z/2 -2k-1/2)(k+1/2)/((-z-k)(z/2-k-1/2)(k+1/2))+2(-z-k)(z/2-k-1/2)/((-z-k)(z/2-k-1/2)(k+1/2)),k\el\ \IZ,) = - sum(((-z/2 -2k-1/2)(k+1/2)+2(-z-k)(z/2-k-1/2))/((-z-k)(z/2-k-1/2)(k+1/2)),k\el\ \IZ,) Nun sehe ich aber nicht, wie ich von hier zu meiner Summe aus der Aufgabe kommen soll. Ich habe den Bruch einmal ausmultipliziert, allerdings habe ich dadurch eher noch weniger gesehen :-? Gibt es hier einen Trick den ich nicht sehe?


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Ex_Senior
  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-26

\quoteon gilt das Additionstheorem für Sinus und Cosinus auch in den Komplexen Zahlen? Dann könnte man alternativ bei a) auch wie folgt vorgehen: \quoteoff Geht und sieht über den Daumen gepeilt gut aus. Die Additionstheoreme kannst Du in $\IC$ über $e^{iz}=\cos z + i\sin z$ auch leichter als nur in $\IR$ nachrechnen. zu b) Wenn wir uns das Ziel etwas genauer anschauen, sehen wir $\frac{2z}{z^2-k^2}=\frac{1}{z-k}+\frac{1}{z+k}$. Das sind die Terme, die wir bei der Rechnung irgendwie als Ergebnis bekomment sollten. Der Faktor $(-1)^k$ gibt einen Hinweis darauf, dass wir ggf. zwischen gerade/ungerade unterscheiden sollten. Der erste Summand $1/z$ muß natürlich auch irgendwo auftauchen. Wenn Du nur die Reihe zu $\pi \tan(\pi(\frac{1}{2}-z))$ betrachtest, kommst Du schon zu einer sehr ähnlichen Formel. Die Summe über $\IZ$ kannst Du als Summe über $\IN$ schreiben, indem Du $\pm k$ zusammenfaßt. Bei der zweiten Summe kannst Du die Indizes verschieben und z.B. nur jedem zweiten Summand aus der ersten Summe zuschlagen. Einfach ein bischen ausprobieren. Wichtigsten Argument dürfte ich erwähnt haben.


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erik92
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-26

Ich hab noch ein Weile weiter gerechnet aber ich kriege es nicht passend umgeformt. Das "Beste" was ich bin jetzt hatte ist glaub ich dieses hier: - sum(1/(1/2 -z-k-1/2)+1/(k+1/2),k\el\ \IZ,) - sum(1/(z/2-k-1/2)+1/(k+1/2),k\el\ \IZ,) = - sum(-1/(z+k)+1/(k+1/2),k\el\ \IZ,) - sum(1/(z/2-k-1/2)+1/(k+1/2),k\el\ \IZ,) = - sum(-1/(z+k)+1/(k+1/2)-1/(z-k)+1/(-k+1/2),k\el\ \IN,) +1/z-2 - sum(1/(z/2-k-1/2)+1/(k+1/2)+1/(z/2+k-1/2)+1/(-k+1/2),k\el\ \IN,) -1/(z/2-1/2)-2 = 1/z-4-2/(z-1) + sum(1/(z+k)+1/(z-k),k\el\ \IN,) -sum(1/(k+1/2)+1/(-k+1/2),k\el\ \IN,) -sum(1/(z/2-k-1/2)+1/(k+1/2)+1/(z/2+k-1/2)+1/(-k+1/2),k\el\ \IN,) = 1/z-4-2/(z-1) + sum(1/(z+k)+1/(z-k),k\el\ \IN,) -2 sum(1/(k+1/2)+1/(-k+1/2),k\el\ \IN,) -sum(1/(z/2-k-1/2)+1/(z/2+k-1/2),k\el\ \IN,) = 1/z-4-2/(z-1) + sum(1/(z+k)+1/(z-k),k\el\ \IN,) -4 sum(1/(2k+1)+1/(-2k+1),k\el\ \IN,) -2 sum(1/(z-2k-1)+1/(z+2k-1),k\el\ \IN,) Hier könnte man noch sagen, dass in der dritten Summe immer 2 steht aber helfen tut das auch nicht. Insbesondere weiß ich nicht an welcher Stelle die Unterscheidung zwischen geradem und ungeradem k ins Spiel kommen soll...


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  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-26

Die eine Reihe für $\pi\cot(\pi z)$ - sum(1/(1/2 -z-k-1/2)+1/(k+1/2),k\el\ \IZ,) = 1/z-2 + sum(2z/(z^2-k^2),k\el\ \IN,) + sum(2/(1-4k^2),k\el\ \IN,) sieht ganz gut aus. Nun kannst Du die Differenz aus dieser Reihe und dem zu zeigenden Ergebnis bilden. Da fällt dann jeder zweite Summanden weg. Von der Reihe mußt Du dann nur noch zeigen, dass diese der Reihe zu $\tan(\pi z/2)$ entspricht. Das habe ich jetzt nicht weiter ausgerechnet, ist aber (glaub' ich) ein zielführender Ansatz. Nachtrag: Ich hatte die Summe über die konstanten Terme vergessen. Diese schaut man sich am beste extra an.


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-27

Also ich habe jetzt nochmal eine Weile rungerechnet aber ich kriege es einfach nicht gezeigt... Mein bester Versuch ist das hier: 1. Umformung: \pi cot(\pi z) = 1/z-2 + sum(2z/(z^2-k^2),k\el\ \IN,) + sum(2/(1-4k^2),k\el\ \IN,) Behauptung: 1/z + sum((-1)^k 2z/(z^2 - k^2),k=1,\inf ) - (1/z-2 + sum(2z/(z^2-k^2),k\el\ \IN,) + sum(2/(1-4k^2),k\el\ \IN,)) = - sum(1/(z-k-1/2) + 1/(k+1/2),k\el\ \IZ,) = \pi tan(\pi z) Beweis: 1/z + sum((-1)^k 2z/(z^2 - k^2),k=1,\inf ) - (1/z-2 + sum(2z/(z^2-k^2),k\el\ \IN,) + sum(2/(1-4k^2),k\el\ \IN,)) = 2-2 sum( 2z/(z^2 - k^2),k\el\ 2\IN_0 +1,) -sum(2/(1-4k^2),k\el\ \IN,) = 2-sum(2/(1-4k^2),k\el\ \IN,)-2 sum(1/(z-k)+1/(z+k),k\el\ 2\IN_0 +1,) = 2-sum(1/(k+1/2)+1/(-k+1/2),k\el\ \IN,)-2 sum(1/(z-k)+1/(z+k),k\el\ 2\IN_0 +1,) = 4-2 sum(1/(z+k),k\el\ 2\IZ +1,)-sum(1/(k+1/2),k\el\ \IZ,) Sehe ich hier eine einfach Umformung einfach nicht? Die letzte Summe ist ja schon mal sehr gut. Wie kann ich jetzt aber folgendes zeigen: 4-2 sum(1/(z+k),k\el\ 2\IZ +1,) = - sum(1/(z-k-1/2),k\el\ \IZ,) Ich sehe leider nicht wie das aufgehen soll... :-(


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erik92
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-27

Ich habe nochmal nachgerechnet und schon mal einen Fehler gefunden, s.d. am Ende folgende Gleichung zu zeigen wäre: 2 sum(1/(z+k),k\el\ 2\IZ +1,) = - sum(1/(z-k-1/2),k\el\ \IZ,)


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  Beitrag No.8, eingetragen 2019-06-27

... und ich habe noch was gefunden. In der Behauptung sollte $\ldots=\pi\tan(\pi z/2)$ stehen.


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erik92
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-27

Hallo Tom, genau der Fehler ist mir auch gerade aufgefallen. Damit ist es einfach ein drei-Zeiler... Vielen Dank für deine Hilfe! :-) :-) :-)


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erik92 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
erik92 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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