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  Lebesgue - Integral |
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All-goa-rhythmus
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Wohnort: Zürich
 |  Themenstart: 2004-09-11
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Hi
Wir haben eine Einführung über Lebesgue - Integrale durchgenommen - zu kurz, um einigermassen in das Thema zu gelangen, zu viel, als dass es an der Prüfung ausgelassen werden könnte... Ich brauche also Unterstützung und werde einmal zusammentragen, was ich ungefär über das Lebesgue Mass verstehe:
Ich verstehe, was ein Mengenring ist und wie wir zu einer Mengenalgebra und von dort zur einer sigma - Algebra gelangen. Die Definitionen von Inhalt und von Mass sind eigentlich genau die gleichen, bis auf eine endliche bzw. abzählbar unendliche Addition der Mengen, die aber in beiden Fällen sigma - Additivität heisst.
Historisch hat es offenbar lange gedauert, bis man die sigma - Additivität für abzählbar unendliche Mengen definieren konnte, längere Zeit war dies nur über endliche Mengen möglich.
Meine erste Frage: Weshalb konnte die sigma - Additivität lange Zeit nicht für abzählbar unendliche Mengen definiert werden?
Definieren wir nun als Spezialfall eines Lebesgue - Mass ein Volumenmass
Sei A^n die Menge der beschränkten Quader in \IR^n. Die Abbildung
\lambda_n : A^n -> \IR hat folgende Eigenschaften:
1.) P, Q \el\ A^n, P\subset\ Q => \lambda_n(P)<=\lambda_n(Q)
2.) P, Q \el\ A^n, P \cut\ Q = \0, P \union\ Q \el\ A^n
=> \lambda_n(P\union\ Q) = \lambda_n(P) + \lambda_n(Q)
3.) Zu jedem \epsilon > 0 und jedem P \el\ A^n gibt es einen
offenen Quader Q \el\ A^n mit P \subset\ Q und
\lambda_n(P) <= \lambda_n(Q) <= \lambda_n(P) + \epsilon
Eine Abbildung \mue : A^n -> \IR mit den Eigenschaften 1.) bis 3.)
heisst ein Mass auf A^n; speziell heisst \lambda_n das Volumenmass
auf A^n.
Daraus kann die sigma - Additivität bewiesen werden. Mithilfe dieses Masses können wir nun z.B. definieren:
\lambda(intervall(0,1)\cut\ \IQ)=0
Dies gilt, weil Q eine abzählbar unendliche Menge ist. Diese Menge hat also ein Mass aber keinen Inhalt.
Meine zweite Frage: können wir eine beschränkte, offene Menge im R^2 mithilfe des Volumenmasses messen?
Gruss
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