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Analysis » Maßtheorie » Konstante Funktionen sind messbar, Beweis
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Universität/Hochschule J Konstante Funktionen sind messbar, Beweis
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-19


Hallöchen alle zusammen.

"Let $(X, \mathcal A)$ and $(Y, \mathcal B)$ be measurable spaces. A function $f: X \rightarrow Y$ is measurable if $f^{-1}(B) \in \mathcal A$ for every $B \in \mathcal B$."

$>$ Ich möchte nun zeigen, dass eine konstante Funktion messbar ist. Sei also $f: X \rightarrow Y, X \ni x \mapsto \text{blub} \in Y$.

Ich habe mir jetzt mal drei Fälle überlegt:
(i) Falls $\{\text{blub} \} \in \mathcal B$, dann ist $f^{-1}\left( \{\text{blub}\} \right) = X \in \mathcal A$.

(ii) Falls $\{\text{blub}, y_1\} \in \mathcal B$, dann bin ich mir nicht so ganz sicher, was $f^{-1}(\{\text{blub}, y_1\})$ ist. Etwa $\emptyset$ ?

(iii) Falls $\{\text{blub}\} \notin \mathcal B$, ist dann $f^{-1}(B) = \emptyset \ \forall B \in \mathcal B$ ?

Über kurze Kommentare würde ich mich sehr freuen!


Seid gegrüßt,
  Neymar



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-19


Hey Neymar,

du hast eine richtige Lösung, falls du
1) mit "Sei \(B \in \mathcal{B}\)." beginnst,
2) den Punkt (ii) ersatzlos streichst,
3) bei (i) "\(\{blub\} \in \mathcal{B}\)" durch "\(blub \in B\)" ersetzt (resp. bei (iii) das gleiche mit \(\notin\)),
4) das "\(\forall ~B \in \mathcal{B}\)" in (iii) weglässt.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-19


Ah okay, dann lautet der Beweis kurz:

Sei $B \in \mathcal B$. Man unterscheide zwei Fälle.

(i) Falls $\text{blub} \in B$, dann ist $f^{-1}\left(B\right) = X \in \mathcal A$.

(ii) Falls $\text{blub} \notin B$, dann ist $f^{-1}(B) = \emptyset \in \mathcal A$.

Ergo sind konstante Funktionen messbar. :-)



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-19


genau



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-19


Darf ich dir noch eine Frage stellen? Sie bezieht sich auf Zufallsvariablen und deren Distributionen. :-)

(DEF: "If $X$ is a random variable, then $X$ induces a probability measure on $\mathbb R$ called its $\mathbf{\text{distribution}}$ by setting $\mu(A) := P\left( X \in A \right)$ for Borel sets. [...] the right hand-side can be written as $P\left( X^{-1}\left(A\right)\right)$.")



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-08-20


nur zu



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-20


Danke, Kampfpudel.

Die Def. einer "distribution" einer Zufallsvariablen habe ich im letzten Post aufgeschrieben. Mir geht es nun darum, was die Distributionn von mehreren Zufallsvariablen wäre, denn ich lese gerade etwas in einem englischsprachigen Buch nach und da heißt es:

"Let $P$ be a Markov kernel on $X \times \mathcal H$, and $\nu$ a probability measure on $(X, \mathcal H)$. An $X$-valued stochastic process $\{X_k, k \in \mathbb N\}$ is a homogenous Markov chain with kernel $P$ and initial distribution $\nu$ if and only if the distribution of $(X_0, \dots, X_k)$ is $\nu \otimes P^{\otimes k}$ for all $k \in \mathbb N$."

(Zitat entnommen aus ,,Markov Chains", Douc et al.)

Wenn ich es noch richtig in Erinnerung habe, dann ist $\nu \otimes P^{\otimes k}$ gerade so definiert, dass dies auch tatsächlich ein Maß ergibt. Ich hatte mich gefragt, ob mit "distribution of $(X_0, \dots, X_k)$" gemeint ist, dass dies gerade das Maß ergibt, so dass $\mu(A) := P(X_0, \dots, X_k \in A)$. Aber dies glaube ich nicht, denn was wäre $P(X_0, \dots, X_k \in A)$ ? Also $P(X_0 \in A) = P\left(X^{-1}(A)\right)$ (vgl. auch meinen letzten Post), aber $P(X_0, \dots, X_k \in A) \overset{!?}{=} P\left( X_0^{-1}(A), X^{-1}(A), \dots \right)$ wäre ja sicherlich nicht ,,wohldefiniert".

Deshalb meine Frage: Wie verstehst du die Formulierung?


Beste Grüße,



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-08-20


Mit "distribution of \((X_0,...,X_k)\)" ist gerade das Maß \(\mu\) (auf \(X^{k+1}\)) gemeint, sodass \(\mu(A_0 \times ... \times A_k)= P (  \cap_{i=0}^k\{X_i \in A_i\})\).



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-21


Ah okay. Ich musste mich erst einmal fragen, warum du $\{X_i \in A_i\}$ und nicht einfach $X_i \in A_i$ geschrieben hast, aber ein Maß ordnet ja einer Menge von einer Menge einen Wert zu, weshalb ich die Notation gut gewählt finde.

Danke dir dafür erst einmal.  



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-08-21


Diese Notation ist (meines Wissens) so üblich mit den geschweiften Klammern. Ich glaube, \(\cap_{i=0}^{k} X_i \in A_i\) wäre auch etwas verwirrend. Stelle dir vor, du willst das ganze noch mit einer Menge \(A\) vereinigen. Dann ist die Verwirrung vorprogrammiert.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-22


Ich habe mir mal auf Wiki angeschaut, was die Sigma-Algebra ist, die durch eine Funktion erzeugt wird. $\sigma(f) := \{f^{-1}(B) \ | \ B \in \mathcal S\}$. Nehmen wir mal an, man hat jetzt eine Folge von Funktionen gegeben, also betrachtet jetzt quasi $\sigma(f_1, f_2, \dots)$. Setzt man dann einfach $\sigma(f_1, f_2 \dots) = \sigma\left(\left(f_n\right)_{n \in \mathbb N}\right) := \bigcap_{n \in \mathbb N} \{f_n^{-1}(B) \ | \ B \in \mathcal S \}$?

Aber es ist dann auch richtig zu sagen, dass $\forall n \in \mathbb N: \{f_n^{-1}(B) \ | \ B \in \mathcal S\}$ eine $\sigma$-Algebra ist, hätte ich gesagt. Also nimmt man hier einen (abzählbaren) Durchschnitt von $\sigma$-Algebren. Der ,,kleinste'' Schnitt, der dabei herauskommen kann, wäre $\{ \emptyset, \Omega \}$.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-08-23


Für eine beliebige Indexmenge \(I\) und einer Familie von Abbildungen \((f_i)_{i \in I}\), ist \(\sigma (f_i; ~i \in I)\) die kleinste \(\sigma\)-Algebra, sodass alle \(f_i\) messbar sind.
Es ist \(\sigma (f_i; ~i \in I) = \sigma (\cup_{i \in I} \{f_i^{-1}(B): ~B \in \mathcal{S} \})\) (wobei \(\mathcal{S}\) hier und bei dir die \(\sigma\)-Algebra des Zielraumes der \(f_i\) bezeichnet).

Falls \(I\) endlich ist, ist \(\cup_{i \in I} \{f_i^{-1}(B): ~B \in \mathcal{S} \}\) selbst schon eine \(\sigma\)-Algebra und damit
\(\sigma (f_i; ~i \in I) = \cup_{i \in I} \{f_i^{-1}(B): ~B \in \mathcal{S} \}\)



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-24


Bei mir heißt es $\cap$ und bei dir $\cup$. Hast du dich evtl. vertippt?
Denn: Die Vereinigung von $\sigma$-Algebren ist i.A. keine $\sigma$-Algebra.

Und: Warum heißt es $\sigma (f_i; ~i \in I) = \sigma (\cup_{i \in I} \{f_i^{-1}(B): ~B \in \mathcal{S} \})$ ? Ich hatte nämlich bis jetzt angenommen: $\sigma\left((f_i)_{i \in I}\right)$ (ich gehe mal davon aus, dass mit $\sigma (f_i; ~i \in I)$ die Schreibweie $\sigma\left((f_i)_{i \in I}\right)$ gemeint ist) ist der Schnitt aller $\sigma$-Algebren, die die Mengen der Form $f_i^{-1}(B)$ enthalten. Deshalb hatte ich auch $\sigma\left(\left(f_n\right)_{n \in \mathbb N}\right) := \bigcap_{n \in \mathbb N} \{f_n^{-1}(B) \ | \ B \in \mathcal S \}$ geschrieben. Ist das etwa falsch oder meinen wir beide dasselbe, nur anders aufgeschrieben?



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-08-24


Da gehört definitiv ein \(\cup\) statt ein \(\cap\) hin. \(\sigma (f_i; ~i \in I) \bigg(= \sigma((f_i)_{i \in I}) \bigg) \) ist die kleinste \(\sigma\)-Alegbra, bezüglich der alle \(f_i\) messbar sind. Dann muss doch diese \(\sigma\)-Algebra größer werden, je mehr Funktionen bzgl. dieser messbar werden sollen, deswegen muss dort ein \(\cup\) hin.

Es war glaube ich Unsinn zu behaupten, die von endlich vielen Abbildungen erzeugte \(\sigma\)-Algebra wäre die Vereinigung der einzelnen \(\sigma\)-Algebren. Das "\(\sigma\)" vor dem "\(\cup\)" kann nur bei einer ZV weggelassen werden, da das Mengensystem \(\{f_i^{-1}(B); ~B \in \mathcal{S} \}\) selbst eine \(\sigma\)-Algebra ist.

Deswegen muss es auch heißen  \(\sigma (f_i; ~i \in I)= \sigma( \cup_{i \in I} \{f_i^{-1}(B); ~B \in \mathcal{S} \})  \), also die kleinste \(\sigma\)-Algebra, die das Mengensystem \(\cup_{i \in I} \{f_i^{-1}(B); ~B \in \mathcal{S} \}\) enthält



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-25


Ich danke dir soweit!



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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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