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Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Theorie der Gew. DGL » Ein kompliziertes Cauchyproblem
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Beruf Ein kompliziertes Cauchyproblem
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-21


Hallo Zusammen,

An 2) habe ich jetzt etwa 2 Stunden herumprobiert und komme keinen Schnritt weiter. Bestimmt ist die Lösung ganz einfach aber ich sehe es nicht.

Sei $\alpha \in C^1([0,\infty[)$ sodass $|\alpha(t)|\le 1$ für alle $t\ge 0$

Sei $x_0 \in ]-1,1[$.

Man betrachte das Cauchyproblem:
$x'(t)=-x(t)+\alpha(t)x(t)^2$
$x(0)=x_0$

Man nehme an dass die maximale Lösung definiert sei auf $[0,T^*[$ mit $T^*>0$ und man betrachte $\delta_0 > 0 $  sodass $|x_0|\le 1-\delta_0$ und für $\delta \in ]0,\delta_0[$

$I=\{T\in [0,T^*[,|x(t)|<1-\delta, \forall t \in [0,T]\}.$


Teilaufgabe 1. Zeige dass für alle $t\in [0,T^*[$

$x(t)=e^{-t} x_0 + \int_0^t e^{-(t-s)}\alpha(s) x(s)^2 ds$



Nun, schon zu dieser Teilaufgabe 1 fällt mir nichts besseres ein, als einfach die Formel für DG's der Form $x'=ax+b$ hinzuschreiben.
Aber nun Teilaufgabe 2) habe ich völlig den überblick verloren.

2) Zeige dass $I$ ein Intervall ist der Form $[0,b[$ mit $b>0$


Mit den ganzen deltas habe ich einfach komplett den überblick verloren und brauche Hilfe



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-21


Es handelt sich hierbei um eine Aufgabe aus der letzten Prüfung, welche ich verbockt habe.

Das "Problem" bei 2) ist eigentlich nicht "mathematischer Natur".
Es kommen einfach zu viele Grössen vor, sodass ich völlig den überblick verliere und keine Ahnung habe wo ich anfangen soll.

Vielleicht hat da jemand einen Wertvollen Tip.



Zu 1) ist mir unklar, was verlangt ist. Für DG's der Form $x'=a(t)x+b$ haben wir eine Auflösungsformel gelernt. Wenn man bedenkt dass auch $x$ eine Funktion in $t$ ist und $a(t)$ durchaus $x$ enthalten darf, so braucht man nur die Formel anzuwenden.


aber ich wollte $x$ nach $t$ ableiten und debei auf $-x+ax^2$ kommen.

Allerings blieb ich immer am Ausdruck $\frac{d}{dt}\int_0^t e^{-(t-s)}\alpha(s)x^2(s)ds$ hängen. Das $t$ ist sowohl in den Integralgrenzen, wie im Integranden. Ich glaube, dass geht irgendwie mit der Kettenregel, aber ich weiss gerade nicht wie.


Auch wenn man den Ausdruck $e^{-t}$ vor das Integral stellt klemmt es.
Mit der Produkteableitung  werde ich das Integral nicht los.
Denn es folgt: $\frac{d}{dt} e^{-t}\int_0^t e^{s}\alpha(s)x^2(s)ds=-e^{-t}\int_0^t e^{s}\alpha(s)x^2(s)ds + \alpha(s)x^2 (s)$ und wir sind keinen schritt weiter.


Wer hat einen Tipp?



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-08-22


Hallo sulky,

bei 1) ist Dein grundsätzlicher Ansatz schon richtig, das vorgegebene x(t) einfach abzuleiten und zu schauen, dass die DGL erfüllt ist.
Da musst Du nochmal überlegen, wie man ein Integral nach der Obergrenze ableitet (das ist im Prinzip der Hauptsatz der Differential- und Integralrechung).

Bei 2) finde ich die Formulierung für eine Klausuraufgabe auch unvorteilhaft kompliziert.

Ansonsten geht es darum, dass man die Lösung mit einem Startwert anschaut, der kleiner als <math>1-\delta_0</math> ist, und sich dann fragt, wie lange diese Lösung unterhalb von <math>1-\delta</math> bleibt. So ganz grob muss man also argumentieren, dass die Lösung entweder immer unterhalb von <math>1-\delta</math> bleibt (dann ist <math>b=T_\ast</math>) oder dass es irgendwann einen ersten Zeitpunkt <math>T_1<T_\ast</math> gibt mit <math>x(T_1)=1-\delta</math>. Dann wäre <math>b=T_1</math>. Dass es einen solchen frühesten Zeitpunkt geben muss, ist anschaulich vielleicht klar, muss man aber noch beweisen, z.B. indem man <math>T_1=\inf\{t;\; x(t)=1-\delta\}</math> betrachtet und <math>x(T_1)=1-\delta</math> zeigt.

Viele Grüße,
haerter


-----------------
"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-22


Hallo Haerter,


Vielen Dank für deine wertvollen Tipps.
Also mit dem Hauptsatz der D.I. Rechnung bin ich unsicher.
Auf Wikipedia (wie in unseren Lehrmittel) steht

$\int_0^t f(x) dx = F(t)-F(0)$.

Da nun aber im vorliegenden Fall noch $t$ im Integranden steht
würde also folgen:
$\frac{d}{dt} \int_0^t f(t,s) ds = \frac{d}{dt} [F(t,t)-F(t,0)] = \frac{d}{dt} F(t,t) - \frac{d}{dt} F(t,0)= \frac{d}{dt} F(t,t)-f(t)$

Ich verzettle mich da irgendwie. In dieser Rechnung fehlt mir ein wenig die Orientierung, aber das geht doch irgendwie.


Bei 2) ....Keine Ahnung...bin völlig überfordert....
Zu bemerken, dass für die Aufgabe 3h/4 = 45 Minuten gerechnet sind.
Da es 5 Teilaufgaben sind, bleibt für Teilaufgabe 2) gerade mal 9 Minuten....










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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-22


Hallo sulky,

ein wenig ausführlicher als vorhin:

Bei 1) hast Du ja bereits ganz richtig

<math>x(t)=e^{-t} x_0 + \int_0^t e^{-(t-s)}\alpha(s) x(s)^2 ds</math>

hingeschrieben, ich mache da mal

<math>x(t)=e^{-t} x_0 + e^{-t} \int_0^t e^s\alpha(s) x(s)^2 ds</math>

daraus. Das willst Du nach t ableiten. Dann ist mit der Produktregel

<math>x"(t)=-e^{-t} x_0 - e^{-t} \int_0^t e^s\alpha(s) x(s)^2 ds + e^{-t} \frac{d}{dt} \int_0^t e^s\alpha(s) x(s)^2 ds,</math>

wobei

<math>\frac{d}{dt} \int_0^t e^s\alpha(s) x(s)^2 ds =\frac{d}{dt} (F(t)-F(0))=e^t\alpha(t)x(t)^2</math>

ist, wenn <math>F</math> die Stammfunktion des Integranden bezeichnet. Insgesamt hast du dann

<math>x"(t)=-e^{-t} x_0 - e^{-t} \int_0^t e^s\alpha(s) x(s)^2 ds + e^{-t}e^t\alpha(t)x(t)^2</math>

und zeigst dann in zwei Zeilen, dass das eine Lösung ist.

Bei 2) würde ich vielleicht etwas anders argumentieren als oben angedeutet. Du definierst zunächst

 <math>T_{max}=\sup\{T\in[0,T^\ast);\; x(t)<1-\delta\;\; \forall t\in [0,T]\}.</math>

Dann ist wegen der Anfangsbedingung <math>T_{max}>0</math>.

Du zeigst dann noch, dass <math>x(T_{max})=1-\delta</math> ist, wenn <math>T_{max}<T^\ast</math> ist zum Beispiel indirekt:

Wäre <math>x(T_{max})<1-\delta</math>, dann wäre wegen der Stetigkeit der Lösung auch <math>x(t)<1-\delta</math> in einem Intervall <math>t\in[T_{max},T_{max}+\varepsilon]</math> im Widerspruch zur Definition von <math>T_{max}</math>.

Wäre <math>x(T_{max})>1-\delta</math>, dann wäre wegen Zwischenwertsatz <math>x(t)=1-\delta</math> für ein <math>t<T_{max}</math> ebenfalls im Widerspruch zur Definition von <math>T_{max}</math>.

Also ist <math>x(t)<1-\delta</math> für <math>t<T_{max}</math> und <math>x(T_{max})=1-\delta</math> und die Behauptung ist gezeigt mit <math>b=T_{max}</math>.

Solche Aufgaben gibt es nicht unendlich viele, es ist von daher vielleicht nützlich, sich dieses Argument völlig klar zu machen, falls eine Variante davon in der nächsten Klausur drankommt.

Viele Grüße,
haerter


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-22


Hallo noch einmal.

Ja, wenn $x'(t)=-e^{-t} x_0 - e^{-t} \int_0^t e^s\alpha(s) x(s)^2 ds + \alpha(t)x(t)^2$

Dann steht rechts vom "=" im ersten Summanden genau dass, was uns als $-x(t)$ in der Aufgabenstellung gegeben wurde.

Darf ich denn jetzt das einsetzten? Ich meine nein, weil dieses $x(t)$ ist ja bis hierhin nur eine Hypothese.



Wegen 2)
Der Tipp mit $T_max=sup\{T\in I\}$ der gab mir ein Spur. Ich muss das Morgen nochmals anschauen. Bin zu müde. Aber vielen Dank schon mal



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-08-23


Hallo zusammen,

wie sieht es mit der folgenden ähnlichen Argumentation für 2) aus?

Es ist schnell zu sehen, dass für $T_1\in I$ bereits gilt, dass für alle $0\leq T_2\leq T_1$ bereits $T_2\in I$ ist. Damit ist $I$ (weg)zusammenhängend und daher ein Intervall der Form $[0,b]$ oder $[0,b[$.
Mit dem Argument

Wäre <math>x(T_{max})<1-\delta</math>, dann wäre wegen der Stetigkeit der Lösung auch <math>x(t)<1-\delta</math> in einem Intervall <math>t\in[T_{max},T_{max}+\varepsilon]</math> im Widerspruch zur Definition von <math>T_{max}</math>.

schließt man $[0,b]$ aus. Da $0\in I$ ist $b>0$.

Beste Grüße
Creasy



-----------------
Smile (:



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-24


Nun habe ich mir das ganze nochmals angeschaut und verstehe nicht mehr, weshalb ich mir da so schwer getan habe.

Ihr habt mir wirklich die Augen geöffnet.

Vielen Dank Haerter und Creasy.


Ich lasse den Beitrag noch einen Moment offen, denn es gibt noch Teilaufgabe 3,4,5



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-24


Hallo noch einmal.
Ich stehe leider schon wieder an bei 3)

Man soll zeigen dass $|x(t)|\le |x_0|e^{-t\delta}$ für alle $t\in[0,b[$
Wobei $b<T*$ anzunehmen sei.


Als Tipp steht, man soll die Ungleichung von Gronwall auf $y(t)=e^t x(t)$ anwenden.

Leider sehe ich gerade nicht wie ich die ug v G auf y(t) anwenden soll.

Die Ungleichung gibt eine Abschätzung für den Falle von $x'\le ax+b$. Leider ist mir gerade unklar, ob ich mit y(t) eine Ungleichung Konstruieren soll, oder ob ich eine andere Ungleichung konstruieren soll, sodass ich eine Abschätzung für y(t)  habe.

Ich brauche einen Tipp


Die einzige Idee, welche ich habe führt nicht zum Ziel und ist:

$x'=-x+\alpha x^2\le |x|+ \alpha x^2<1-\delta +\alpha x^2$ woraus folgt aus der Ug.v.G:
$x\le x_0\cdot e^{\int_0^t (1-\delta) d\tau}+ \int_0^t e^{\int_s^t (1-\delta )d\tau} \alpha(s) x^2(s) ds $
$x\le x_0\cdot e^{t-\delta t}+ \int_0^t e^{(t-\delta t)-(s-\delta s)} \alpha(s) x^2(s) ds $
$e^{-t}x\le x_0\cdot e^{-\delta t}+ \int_0^t e^{(\delta t)-(s-\delta s)} \alpha(s) x^2(s) ds $


So nah und doch so fern. Ich erhalte eine Abschätzung für $e^{-t}x(t)$ anstatt für $e^{+t}x(t)$

Ich bin mir einfach nicht sicher, ob ich es fast habe. Oder völlig auf dem Holzweg bin.



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sulky
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Ich glaube ich habs, aber es stimmt noch nicht alles.

$x'=-x+\alpha x^2$
$x'+x=\alpha x^2$
$e^t(x'+x)=e^t(\alpha x^2)$
$(e^t x)'=e^t(\alpha x^2)$
setze $y=e^tx$
$y'=\alpha y x$
$x$ und $y$ sind Vorzeichengleich und $|\alpha|\le 1$ gemäss Aufgabenstellung.
$y'\le xy$

Aber hier stimmt's immer noch nicht. Wenn ich nun $xy\le|x|y$ setzen würde, dann ginge alles auf. aber ich kenn ja das Vorzeichen von $x$ nicht.

Was mache ich da falsch?

Es ist schade, denn es würde ja folgen dass
$y'\le y(1-\delta)$

und dann nach der Grönwallungleichung:

$y\le x_0 e^{(1-\delta)t}$
$x\le x_0 e^{-\delta t}$

Einfach mit den Vorzeichen und den Betragsstrichen geht es mir nicht auf



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-08-30 09:40


Hallo,

wie wäre es mit

<math>y"(t)=e^t \alpha(t) x^2(t)= \underbrace{\alpha(t)}_{\leq 1}\underbrace{x(t)}_{\leq 1-\delta}\; \underbrace{e^t x(t)}_{=y(t)} \quad ?</math>


Viele Grüße,
haerter


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