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| Autor |
 Nichtlineare autonome gewöhnliche Differentialgleichung |
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3636
Wohnort: der Nähe von Schwerin
 |  Themenstart: 2019-08-22
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Hallo,
glaubt ihr, dass die Differentialgleichung
\[a\frac{\mathrm d^4u}{\mathrm d^4t}(t)+
b\frac{\mathrm d^2u}{\mathrm d^2t}(t)
+c(u(t))^3=0\]
für geeignete Parameter $a,b,c\neq 0$ analytisch lösbar ist? Habt ihr eine Idee wie das geht?
Viele Grüße
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 Profil
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MontyPythagoras
Senior 
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3320
Wohnort: Werne
 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-22
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Hallo ochen,
meiner Meinung nach nicht analytisch lösbar. Man kann noch folgende Umformung machen (ich benutze die abkürzende Schreibweise mit den Apostrophen):
$$au^{(4)}+bu''+cu^3=0$$Multiplizieren mit $u'$:
$$au^{(4)}u'+bu''u'+cu^3u'=0$$Partiell integrieren:
$$au'''u'-a\int u'''u''\mathrm dt+\tfrac12bu'^2+\tfrac14cu^4=c$$$$au'''u'-\tfrac12au''^2+\tfrac12bu'^2+\tfrac14cu^4=c$$Damit hast Du nur noch Ableitungen bis 3 und nicht mehr bis 4, aber wirklich gewonnen hat man dadurch auch nix. Es könnte höchstens Vorteile bei numerischen Simulationen bringen.
Ciao,
Thomas
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Profil
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ThomasRichard
Senior
Dabei seit: 08.04.2010
Mitteilungen: 468
Wohnort: Aachen
| Beitrag No.2, eingetragen 2019-08-22
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\quoteon(2019-08-22 11:35 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1)
$$au^{(4)}+bu''+cu^3=0$$Multiplizieren mit $u'$:
$$au^{(4)}u'+bu''u'+cu^3u'=0$$Partiell integrieren:
$$au'''u'-a\int u'''u''\mathrm dt+\tfrac12bu'^2+\tfrac14cu^4=c$$$$au'''u'-\tfrac12au''^2+\tfrac12bu'^2+\tfrac14cu^4=c$$Damit hast Du nur noch Ableitungen bis 3 und nicht mehr bis 4, aber wirklich gewonnen hat man dadurch auch nix. Es könnte höchstens Vorteile bei numerischen Simulationen \quoteoff
Hallo Namensvetter,
das $u'$ mit dem du multiplizierst, ist ein integrierender Faktor. Die neue Dgl. ist somit exakt und um eine Ordnung reduzierbar, wie du ja auch gezeigt hast.
Auf diese reduzierte Gl. kann man Symmetriemethoden anwenden, womit ich mich leider kaum auskenne. Die Lösung in Maple ist sehr kompliziert und nicht in geschlossener Darstellung.
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9721
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, ochen,
man kann den "Anfang" einer Lösung durch einen Potenzreihenansatz bekommen.
Mit o.B.d.A $a=1$ bekommt man anscheinend auch eine Laurentreihenentwicklung für
$\D u=\frac{d_1}{t}+\frac{d_3}{t^3}+\frac{d_5}{t^5}+\cdots$, falls $b$ und $c$ verschiedene Vorzeichen haben.
Sieht aber nicht so aus, als erhielte man eine geschlossene Rekursionsformel für die $d_k$.
Kurzfassung der Antwort: nein.
Wally\(\endgroup\)
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