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Analysis » Komplexe Zahlen » Induktion für Produkt komplexer Zahlen
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Universität/Hochschule Induktion für Produkt komplexer Zahlen
Lea5619
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-04


Hallo,

es geht um den Induktionsbeweis von $e^{\theta_1 i} e^{\theta_2 i}...e^{\theta_n i}=e^{(\theta_1 + \theta_2+...+\theta_n)i}$ für beliebig viele $n$:

Induktionsanfang: $e^{\theta_1 i} e^{\theta_2 i} = e^{(\theta_1 +\theta_2)i}$ ist mir schon bekannt.

Induktionsvoraussetzung: $e^{\theta_1 i} e^{\theta_2 i}...e^{\theta_n i}=e^{(\theta_1 + \theta_2+...+\theta_n)i}$ gilt für beliebig festes $n$.

Induktionsschritt: n --> n+1:
$e^{\theta_1 i} e^{\theta_2 i}...e^{\theta_{n+1} i}=e^{(\theta_1 + \theta_2+...+\theta_n)i}e^{\theta_{n+1} i}$
Wäre es an dieser Stelle möglich die Induktionsvoraussetzung anzuwenden und das Produkt zusammenzuziehen? Und würden wir da nicht schon den Induktionsanfang anwenden, weil wir ja nur zwei Faktoren haben?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-04


Hallo,

die Induktionsvoraussetzung hast du ja schon angewendet. Nochmalige Anwendung auf die verbleibenden Faktoren ergibt dann den Induktionsschluss (Stichwort: Assoziativgesetz der Addition).

Der Beweis dieses Potenzgesetzes per vollst. Induktion ist für meine Geschmack irgendwie an den Haaren herbeigezogen. Mit dieser Variante der vollst. Induktion könnte man das zumindest etwas weniger umständlich gestalten.


Gruß, Diophant



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Lea5619
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Danke!

2019-09-04 08:48 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:

die Induktionsvoraussetzung hast du ja schon angewendet. Nochmalige Anwendung auf die verbleibenden Faktoren ergibt dann den Induktionsschluss (Stichwort: Assoziativgesetz der Addition).



Könnte ich also schreiben?:

$e^{i \theta_1}...e^{i \theta_n}e^{i \theta_{n+1}}=e^{i \theta_1}...(e^{i \theta_n}e^{i \theta_{n+1}})=e^{i \theta_1}...(e^{i (\theta_n +\theta_{n+1})})$
und dann habe ich ja n Faktoren und darf die Induktionsvoraussetzung nochmal anwenden und komme auf den Schluss:
$=e^{i (\theta_1+...+ \theta_n +\theta_{n+1})}$






\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

zu umständlich. Du warst doch oben fast fertig:

\[\ba
e^{\theta_1 i} e^{\theta_2 i}...e^{\theta_{n+1} i}&=e^{(\theta_1 + \theta_2+...+\theta_n)i}e^{\theta_{n+1} i}\\
\\
&=e^{\left((\theta_1 + \theta_2+...+\theta_n)+\theta_{n+1}\right)i}\\
\\
&=e^{(\theta_1 + \theta_2+...+\theta_n+\theta_{n+1})i}
\ea\]

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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