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  Warum ist diese Funktion messbar? |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2019-09-12
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Hallo alle zusammen.
Gegeben seien zwei Messräume, i.e. $(\mathsf X, \mathscr X)$ und $(\mathsf Y, \mathscr Y)$. Außerdem haben wir eine Abbildung $N: \mathsf X \times \mathscr Y \rightarrow [0,\infty]$ gegeben, die zwei Bedingungen entpsricht:
(i) für jedes $x\in \mathsf X$ ist die Abbildung $N(x,\cdot): A\mapsto N(x,A)$ ein Maß auf $\mathscr Y$;
(ii) für jedes $A\in\mathscr Y$ ist die Abbildung $N(\cdot, A): x\mapsto N(x,A)$ eine messbare Funktion von $(\mathsf X, \mathscr X)$ nach $\left(\left[ 0,\infty\right], \mathscr B\left( \left[ 0,\infty \right] \right)\right)$.
(So eine Abbildung wird $\textit{Kernel}$ genannt, aber das ist eigentlich irrelevant, glaube ich.)
Nun wird ein Beispiel in meinem Buch für einen ,,Kernel" gegeben: Sei $\lambda$ ein positives $\sigma$-finites Maß auf $(\mathsf Y, \mathscr Y)$ und $n: \mathsf X\times \mathsf Y\rightarrow\mathbb R_{+}$ eine nicht-negative Funktion, messbar bezüglich der Produkt-$\sigma$-Algebra $\mathscr X \otimes \mathscr Y$. Nun wird behauptet, dass die Abbildung $N$ auf $X\times \mathscr Y$ definiert durch \[N(x,A) := \int_{A} n(x,y)\lambda(dy)\] ein Kernel ist.
$>$ Die erste zu prüfende Bedingung ist klar. Ich bin also dabei, zu verstehen, warum diese konkrete Abbildung eine messbare Funktion von
$(\mathsf X, \mathscr X)$ nach $\left(\left[ 0,\infty\right], \mathscr B\left( \left[ 0,\infty \right] \right)\right)$ ist. Konkret wäre ja dann zu zeigen: Ist $B\in \mathscr B\left(\left[0,\infty \right]\right)$, dann ist $N^{-1}(B, A) = \{ x \in \mathsf X \mid N(x,A) \in B \}\in\mathscr X$.
Wie dies aber hier geht, ist mir leider noch nicht klar. Vielleicht würde jemand (kurz) drüberschauen und mir zeigen, wie es geht?
Mit den besten Grüßen,
Neymar
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Triceratops
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-15
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Die Behauptung ist, dass für jede messbare Funktion $n : X \times Y \to [0,\infty]$ die Funktion
$X \to [0,\infty]$, $\displaystyle x \mapsto \int_A n(x,y) \lambda (dy)$
messbar ist. Wegen $\displaystyle \int_A n(x,y) \lambda (dy) = \int n'(x,y) \lambda (dy)$ mit $n' : X \times A \to [0,\infty]$, $(x,a) \mapsto n(x,a)$, dürfen wir $A=Y$ annehmen.
Betrachte die Menge $\mathcal{S}$ der messbaren Funktionen $n : X \times Y \to [0,\infty]$, die die gewünschte Eigenschaft erfüllen. Überlege dir nun (der Reihe nach) folgende Eigenschaften:
• Für $r \in [0,\infty]$ und $n \in \mathcal{S}$ ist auch $r \cdot n \in \mathcal{S}$.
• Für eine Folge von Funktionen $(n_i)_{i \geq 0}$ in $\mathcal{S}$ ist auch $\sum_{i \geq 0} n_i \in \mathcal{S}$.
• Für eine Folge von Funktionen $(n_i)_{i \geq 0}$ in $\mathcal{S}$ mit $n_i \to n$ (fast überall, punktweise) gilt auch $n \in \mathcal{S}$.
• Für jede messbare Teilmenge von $X \times Y$ der Form $U \times V$ mit messbaren Teilmengen $U$ bzw. $V$ von $X$ bzw. $Y$ ist $\chi_{U \times V} \in \mathcal{S}$.
• Für jede messbare Teilmenge $W \subseteq X \times Y$ ist $\chi_W \in \mathcal{S}$. (Tipp: Dynkin-Argument)
• Jede messbare Funktion $n : X \times Y \to [0,\infty]$ liegt in $\mathcal{S}$.
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