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Mathematik » Strukturen und Algebra » Müssen die Nullstellen algebraischer Funktionen Nullstellen algebraischer Gleichungen sein?
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Universität/Hochschule J Müssen die Nullstellen algebraischer Funktionen Nullstellen algebraischer Gleichungen sein?
IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-22


Hallo,

müssen für jede algebraische Funktion von $n$ Variablen die Nullstellen Nullstellen einer algebraischen Gleichung (Polynomgleichung) sein? Oder gilt das nur für explizite algebraische Funktionen?

Wenn ja, wie kann man das beweisen?

(Ich bin kein Mathematiker und kein Student.)

Vielen, vielen Dank.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-22


Präzisier doch mal:
Was sind algebraische Funktionen, was sind algebraische Gleichungem was sind explizite algebraische Funktionen?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-23


@Strg:


Der OP hat schon viele Fragen zum Thema gestellt, kennt die Def., und verlinkt daher die Def. nicht mehr.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-23


Derzeit meine ich noch über $\mathbb{Q}$ algebraische Funktionen und über $\mathbb{Q}$ algebraische Gleichungen.

Eine algebraische Funktion ist Lösung einer sie definierenden algebraischen Gleichung. Wenn die Lösung dieser algebraischen Gleichung durch einen Radikalausdruck in Abhängigkeit von ihren Koeffizienten erzeugt werden kann, heißt die Lösung (also die algebraische Funktion) explizite algebraische Funktion, anderenfalls implizite algebraische Funktion.

Das ist analog den durch Radikale darstellbaren algebraischen Zahlen. Die werden auch explizite algebraische Zahlen genannt.

Bisher habe ich keine Ahnung, ob man für implizite algebraische Funktionen überhaupt eine Nullstellengleichung aufstellen kann.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-23


Es ist zu beweisen, dass für jede algebraische Funktion von $n$ Variablen die Nullstellen Nullstellen einer algebraischen Gleichung (Polynomgleichung) sein müssen.

Kommt man auf dem folgenden Weg zu einem Beweis?

Wenn $A\colon (x_1,...,x_n)\mapsto A(x_1,...,x_n)$ eine (explizite oder implizite) algebraische Funktion ist, dann ist $A$ definiert durch eine irreduzible algebraische Gleichung $P(A(x_1,...,x_n),x_1,...,x_n)=0$. Für die Nullstellen gilt $A(x_1,...,x_n)=0$, also $P(0,x_1,...,x_n)=0$. Wie kann man damit nun beweisen, dass jede Lösungsmenge $\{x_1,...x_n\}$ der letzten Polynomgleichung Lösungsmenge ein und derselben algebraischen Gleichung sein muss?

Wenn man das bewiesen hat, gilt die Behauptung von ganz oben für alle algebraischen Funktionen, also auch für die impliziten - deren Funktionsausdrücke nicht mit den allgemein üblichen Ausdrücken explizit dargestellbar sind.

(Ich bin kein Mathematiker und kein Student.)



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-24


Nur zur Sicherheit: du möchtest wissen, ob für jede Nullstelle $(x_1,\dotsc,x_n)$ von $A$ gilt: jedes $x_i$ ist algebraisch. Richtig?

Oder willst du nur zeigen, dass $(x_1,\dotsc,x_n)$ algebraisch abhängig ist?

Wie kann man damit nun beweisen, dass jede Lösungsmenge $\{x_1,...x_n\}$ der letzten Polynomgleichung Lösungsmenge ein und derselben algebraischen Gleichung sein muss?

Ist das nicht trivial? Du hast die algebraische Gleichung ja hingeschrieben. Oder was meinst du genau?

Generell wäre es besser, wenn du hin und wieder weniger "sprachliche Formulierungen" verwendest, um solche Unklarheiten zu vermeiden.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-24


Meine eigentliche Frage ist: Kann man, wenn ja wie, beweisen, dass jede Nullstelle jeder über $\mathbb{Q}$ algebraischen Funktion Lösungsmenge einer über $\mathbb{Q}$ algebraischen Gleichung ist?

Aha: Das ist wohl äquivalent(?) zu der Frage, ob die Nullstellen algebraisch über $\mathbb{Q}$ sind.

 
Oben haben wir die über $\mathbb{Q}$ algebraische Gleichung $P(0,x_1,...,x_n)=0$. Wie muss der Beweis weitergehen? Ich weiß nicht, wie mit der $0$ im Argument von $P$ umzugehen ist.

In Hat jede algebraische Funktion nur algebraische Nullstellen? Beitrag No. 1 hatten wir wohl Ähnliches schon mal für algebraische Funktionen einer Variablen. Ich verstehe dort aber schon nicht mehr, warum "<math>Y</math> ein Teiler von <math>p(X,Y)</math> ist".



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-09-24


Hi IVmath,
nehmen wir als Beispiel die Funktion y - x2.
Eine Parametrisierung der Nullstellen ist durch x=t, y=t2 gegeben.
Hierbei kann t transzendent über Q sein, es ist also nicht so, dass alle Nullstellen algebraisch sein müssen.
Bei einer beliebigen Gleichung in n Variablen kann man n-1 Variablen auf transzendente Werte setzen und die n-te Variable als Nullstelle der erhaltenen Gleichung nehmen. Auch hier kommen transzendente Lösungen vor, die Behauptung ist also sicherlich falsch, sie gilt nur für n=1.
Gruß Buri



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-24


@Buri: Aha, damit ist eines meiner Missverständnisse aufgeklärt. Vielen, vielen Dank.

Aber meine eigentliche ganz oben gestellte Frage ist damit dann doch noch nicht beantwortet.

Ich versuche mich mal an dem Beweis.

Im Folgenden beziehen sich alle Aussagen zur Algebraizität oder algebraischen Unabhängigkeit auf $\mathbb{Q}$; alle Konstanten, insbesondere Koeffizienten, seien aus $\mathbb{Q}$.

Behauptung:
Sei $A\colon \{(x_1,...,x_n)\ |\ x_1\in D_1,...,x_n\in D_n; D_1,...,D_n\in\mathbb{C}\}\to\mathbb{C}$,$(x_1,...,x_n)\mapsto A(x_1,...,x_n)$ eine algebraische Funktion, die keine Nullfunktion ist.
Sei das Tupel $X_0=(x_{0_1},...,x_{0_n})$ eine Nullstelle der Funktion $A$, und seien die Komponenten von $X_0$ algebraisch unabhängig.
Dann kann $X_0$ keine Nullstelle der Funktion $A$ sein.

Beweis:

Da $A$ eine algebraische Funktion ist, gibt es ein irreduzibles Polynom $P(A(x_1,...,x_n),x_1,...,x_n)=0$. $p_0$ kann kein Nullpolynom sein, weil $P$ sonst kein irreduzibles Polynom wäre. Für die Nullstellen gilt $A(x_1,...,x_n)=0$, also $P(0,x_1,...,x_n)=0$.

$p_0,...,p_m$ seien Polynome. Da $P$ ein Polynom ist, ist $P(y,x_1,...,x_n)=p_0+p_1y+p_2y^2+...+p_my^m$. Mit $y=0$ ergibt sich die algebraische Gleichung $p_0=0$.

Fall 1:
Wenn $p_0$ ein konstantes Polynom ist das kein Nullpolynom ist, dann ist die obige Gleichung $p_0=0$ nicht erfüllt, und deshalb hat dann die Funktion $A$ keine Nullstelle.

Fall 2:
Es sei $X\subseteq \{x_1,...,x_n\}$.
Wenn $p_0$ ein nicht konstantes Polynom ist, dann ist $p_0$ abhängig von einem $X\neq\emptyset$. Die obige Gleichung $p_0=0$ ist dann nur dann erfüllt, wenn $X$ algebraisch abhängig ist. Da die Komponenten der Nullstelle $X_0$ laut Voraussetzung algebraisch unabhängig sind, existiert kein algebraisch abhängiges $X$. Deshalb kann $X_0$ keine Nullstelle der Funktion $A$ sein.

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Ist das alles so richtig?





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IVmath
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Die Antwort auf diese Frage gibt es in der Diskussion ""Muss man die algebraische Abhängigkeit von Nullstellen algebraischer Funktionen allgemein beweisen?". Der Beweis ist nicht nötig, weil die Antwort offensichtlich ist.



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IVmath hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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