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  cos(t) bzw. sin(t) in Fundamentalsystem |
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JJJanezic
Wenig Aktiv 
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Mitteilungen: 191
 |  Themenstart: 2019-09-26
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Hallo
Ich soll für die folgende homogene DGL eine allgemeine reelle Lösung finden:
u‘‘‘+u‘‘-2u=0
Wenn ich das charakteristische Polynom bestimme, ergeben sich als Lösungen für lamda die Werte 1, -1+i, -1-i
Das (korrekte) Fundamentalsystem lautet:
e^t, e^-t cos(t), e^t sin(t)
Ich komme aber nicht drauf, warum gerade diese beiden Trig. Funktionen. Wenn ich mit Euler expandiere, so ergibt sich für die beiden imaginären lamdas
e^t(-1+I)= e^-t (cos(t) + i sin(t)
bzw.
e^t(-1-i)=e^-t (cos(t) - i sin(t)
Damit sind die beiden reellen Anteile jeweils e^-t cos(t).
Warum muss ich das dann aber zu sin(t) „konvertieren“?
Mein Verdacht: um eine Resonanz der beiden lamdas zu vermeiden, und weil ja sonst die beiden Elemente des FS nicht linear unabhängig sind.
Aber warum sin(t)? Eigentlich müsste sich dieses Element des FS ja zu t * e^-t cos(t) ergeben...
Danke,
JJJ
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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo JJJanezic,
bei einer linearen Dgl. bilden die Lösungen einen Vektorraum. Daher sind die Summe und die Differenz deiner Lösungen (und Vielfache davon) auch Lösungen.
Bei einer rellen Dgl (wie hier) ist mit jeder komplexen Lösung auch die konjugiert komplexe Funktion Lösung.
Wegen \(\D \text{Re}\,z=\frac{1}{2}(z+\overline{z})\) ist dann auch der Realteil eine Lösung.
Wally\(\endgroup\)
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JJJanezic
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-26
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Hallo Wally,
Erst einmal vielen Dank, ich blicke aber noch nicht 100%ig durch.
Wenn meine erste Lösung z = cos(t) + i sin(t) ist, dann wäre gem. Deinen Erläuterungen auch z* = cos(t) - i sin(t) eine Lösung.
Aber auch hier ist der Realteil ja wieder cos(x).
Wenn ich jetzt die von Dir gepostete Identität anwende, komme ich aber wieder zu cos(x):
z = cos(t) + i sin(t)
z* = cos(t) - i sin(t)
Re(z) = 1/2 (cos(t) + i sin(t) + cos(t) - i sin(t))= 1/2 (2 cos(t)) = cos (t).
Irgendwie komme ich da aber wieder nicht auf sin(t)...
Oder habe ich da etwas falsch verstanden?
Danke,
JJJ
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Wally
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| Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,
dann subtrahiere die Lösungen mal und dividiere durch \(2i\) :)
Wally\(\endgroup\)
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JJJanezic
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-26
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Ok, jetzt habe ich es verstanden.
Herzlichen Dank!
JJJ
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