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Analysis » Maßtheorie » Borel-Mengen
Autor
Universität/Hochschule Borel-Mengen
Kingtom2
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  Themenstart: 2019-10-13

Frage: ist die Menge A = {(x,y) aus R^2: x aus R\Q und y aus Q} eine Borel-Menge? Wenn ja, wie zeige ich das?

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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-13

Ja, es ist eine Borel-Menge. Sicherlich sind $\IQ$ (weil es abzählbar ist) und damit auch das Komplement $\IR \setminus \IQ$ Borel-Mengen in $\IR$. Daher ist $(\IR \setminus \IQ) \times \IQ$ eine Borel-Menge von $\IR^2$.

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Kingtom2
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13

Danke. Ist es trivial, dass ein Kreuzprodukt von Borel-Menge wieder eine Borelmenge ist?

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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-13

Wenn es dir nicht klar ist, ist es nicht trivial und muss bewiesen werden. Welche Definitionen verwendest du? Schreib es alles auf, was du hast, und schreibe dann auf, was genau zu zeigen ist. Tipp: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805

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Kingtom2
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13

Ok also ich weiß nach Vorlesung dass wenn A eine offene oder abgeschlossene reelle Menge ist, dann ist A eine Borel-Menge. Da sowohl Q als auch R\Q Teilmengen der reellen Zahlen sind, muss ich also zeigen, dass Qx(R\Q) (Teilmenge von R^2) offen oder abgeschlossen ist. Richtig?

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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-13

Nein, das ist falsch. Nicht jede Borel-Menge ist offen oder abgeschlossen.

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Kingtom2
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-13

Dann habe ich ein Problem.;)

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Triceratops
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  Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-13

Das Problem ist, dass Schritt 1, nämlich das Nachschlagen der Definitionen, nicht vollständig abgeschlossen ist. Ich klinke mich hier aus, weil ich dabei nicht behilflich sein kann. https://de.wikipedia.org/wiki/Borelsche_%CF%83-Algebra

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