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| Autor |
  Äquivalenzrelation(nicht sicher) |
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Docker1
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 31.08.2002
Mitteilungen: 1136
 |  Themenstart: 2002-11-02
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Hi,
Zeigen Sie das R= {(x,y) ÎZ (KREUZ) Z | |x|=|y| |
eine Äquivalenzrelation in der Menge ganzen Zahlen ist und beschreiben Sie die Äquivalenzklassen.
Symmetrie (|x|,|y|) ER Ù (|y|,|x|) ER
Transitivität (|x|,|y|) ER Ù (|y|,|x'|) --> (|x|,|x'|) ER
Reflexiv: (|x|,|x|) ER der Relation.
Äquivalenzklassen: { [|x|] und [|y|] }
Irgendwie bin ich da noch ziemlich schwammig unterwegs,
wäre nett wenn mir einer sagen kann ob da irgendwo noch Fehler sind! Danke.
[ Nachricht wurde editiert von Docker am 2002-11-02 16:29 ]
[ Nachricht wurde editiert von Docker am 2002-11-02 16:32 ]
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Ende
Senior 
Dabei seit: 15.03.2002
Mitteilungen: 2300
Wohnort: Kiel, Ostsee
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-11-02
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Hi, Docker!
Du hast ueberhaupt nichts gezeigt, sondern lediglich die Definitionen fuer Aequivalenzrelation und fuer Aequivalenzklasse hingeschrieben.
Die Definitionen sind zwar richtig, reichen aber ueberhaupt nicht als Beweis aus.
Gruss, E. 
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Docker1
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 31.08.2002
Mitteilungen: 1136
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-02
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So hab mal geändert, bin ich jetzt auf dem richtigen Dampfer oder liege ich völlig falsch??? Wenn ja wie muß der aussehen?
[ Nachricht wurde editiert von Docker am 2002-11-02 16:31 ]
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matroid
Senior 
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14571
Wohnort: Solingen
 |  Beitrag No.3, eingetragen 2002-11-02
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Hi Docker,
ich weiß nicht, was Du geändert hast, aber jetzt sind die Bedingungen falsch.
Symmetrie bedeutet:
xRy => yRx
und nicht etwa "xRy Ù yRx".
Zum Beweis der Symmetrie schreibe so:
Sei xRy. Behauptung yRx.
Es bedeutet xRy nach Definition der Relation, daß |x|=|y|.
Dann ist auch |y|=|x|, weil die Gleichheitsrelation auf den ganzen Zahlen eine Äquivalenzrelation ist.
Das ist dann nach der Definition der Relation gleichbedeutend mit yRx.
Also ist R symmetrisch.
Die anderen Eigenschaften analog.
Es ist bei diesen elementaren Sachen immer notwendig viel zu schreiben.
Gruß
Matroid
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Docker1
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 31.08.2002
Mitteilungen: 1136
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-02
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Hi hab mich bemüht (WIRKLICH  )
und hab mal meine Beweise geposted. Über ein zustimmendes Post oder Verbesserungsvorschläge würde ich mich freuen.
Reflexiv:
Sei xRy Behauptung: xRx
Beweis:
Es bedeutet xRy nach Definition der Relation, daß |x|=|y|.
Dann ist auch |x|=|x| weil Z und Z dieselben Mengen sind ist auch x in beiden Mengen
enthalten und somit erst recht im kartesischen Produkt von Z und Z.
Also ist xRx.
Transitiv:
Sei xRy und yRx’ Behauptung: xRx’
Beweis:
Es bedeutet xRy und yRx’ nach Definition der Relation, daß |x|=|y| und |y|=|x’|.
Dann ist auch |x|=|x’|, weil durch die Betragsbildung, x und –x mit demselben y in Relation
stehen.
Das ist dann nach der Definition der Relation gleichbedeutend mit xRx’.
Also ist R transitiv.
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matroid
Senior
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14571
Wohnort: Solingen
| Beitrag No.5, eingetragen 2002-11-03
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Halb. Ich korrigiere:
Reflexiv:
Sei xRy Behauptung: xRx
[hier gibt es keine Voraussetzung, xRx soll unabhängig von jeder Voraussetzung für alle x gelten.]
Beweis:
Es bedeutet xRy nach Definition der Relation, daß |x|=|y|. Ok, das ist als Erinnerung der Definition nicht falsch.
Dann bedeutet die Behauptung ist auch |x|=|x| weil Z und Z dieselben Mengen sind ist auch x in beiden Mengen enthalten und somit erst recht im kartesischen Produkt von Z und Z.
Ganz falsch. Hier gibt es keine Mengen und kein kartesisches Produkt. Warum ist |x|=|x|? Weil |x| ein Element von Z ist und die Gleichheitsrelation auf Z bekanntermaßen eine Äquivalenzrelation ist, und daher für alle z aus Z gilt z=z.
Also ist xRx.
Transitiv:
Sei xRy und yRx’ Behauptung: xRx’
Beweis:
Es bedeutet xRy und yRx’ nach Definition der Relation, daß |x|=|y|
und |y|=|x’|.
Dann ist auch |x|=|x’|, [Bis hierhin ok.]
weil durch die Betragsbildung, x und –x mit demselben y in Relation stehen.
[Entweder schreibst Du nochmal wie oben von der Gleichheitsrelation auf Z, daß sie eine Äquivalenzrelation ist, und darum aus |x|=|y| und |y|=|x'| folgt: |x|=|x'|, oder du schreibst diese Binsenweisheit diesmal nicht mehr dazu, und es ist auch richtig.]
Das ist dann nach der Definition der Relation gleichbedeutend mit xRx’.
Also ist R transitiv.
Gruß
Matroid
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Docker1
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 31.08.2002
Mitteilungen: 1136
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2002-11-03
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Also hat das alles mit Gleichmächtigkeit von Mengen zu tun wenn ich das richtig verstehe. Weil die id Z-->Z eine Äquivalenzrelation ist??
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matroid
Senior
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14571
Wohnort: Solingen
| Beitrag No.7, eingetragen 2002-11-03
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Hi Docker,
es hat rein garnichts mit Mengen und deren Mächtigkeiten zu tun. Es hat damit zu tun, daß die Eigenschaften der gefragten Relation sich auf die bekannten Eigenschaften der Gleichheitsrelation in Z zurückführen lassen.
Es ist doch 5 = 5, oder? Da sind keine Mengen im Spiel.
Die Aufgabe ist einfach, es wird nur verlangt, daß Du die Definition der Relation richtig vorwärts und rückwärts lesen und anwenden kannst.
Gruß
Matroid
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