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Lineare Algebra » Determinanten » Determinante eines Tensors: Symmetrischer und antisymmetrischer Teil
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Autor
Universität/Hochschule Determinante eines Tensors: Symmetrischer und antisymmetrischer Teil
tr_el
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.02.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-18


Hallo zusammen,

ich habe hier gerade ein Problem und komme nicht weiter.

Folgendes ist gegeben:

Tensor: $A_{ij}$
Dessen symmetrischer Anteil: $S_{ij}$
und sein antisymmetrischer Anteil: $W_{ij}$
Es gilt: $S_{ij}+W_{ij}=A_{ij}$

Zudem gilt dass alle Einträge auf der Hauptdiagonalen null sind ($a_{11} = a_{22} = a_{33} = 0$).

Zu bestimmen sind die zweite und dritte Invariante mit folgenden Formeln:
$II=0.5*(Spur(A_{ij})^2-Spur(A_{ij}^2))$
$III=-det(A_{ij})$

Folgende Lösungen sind angegeben:

$II=0.5*(-S_{ij}S_{ij}+W_{ij}W_{ij})$
$III=(-S_{ij}S_{jk}S_{ki}-3W_{ij}W_{jk}S_{ki})/3$

Leider komme ich mit den angegebenen Formeln überhaupt nicht auf die Lösung...
Zur zweiten Invariante: mir ist klar, dass $Spur(A_{ij})=0$ gilt. Aber wenn ich den Tensor quadriere, und davon dann die Spur berechne, komme ich nicht auf das angegebene Ergebnis. Bei der dritten Invariante ist mir auch unklar, wie die Lösung zustande kommt.

Vielen Dank vorab!



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zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 934
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-19


2019-10-18 14:18 - tr_el im Themenstart schreibt:
mir ist klar, dass $Spur(A_{ij})=0$ gilt.

Daher musst du nur noch $\operatorname{Spur}(A^2)=A_{ij}A_{ji}$ betrachten.

Wenn du hier $A=S+W$ einsetzt, erhältst du$$ \operatorname{Spur}(A^2)=A_{ij}\,A_{ji}=
\bigl[S_{ij}+W_{ij}\bigr]\bigl[S_{ji}+W_{ji}\bigr]=
S_{ij}\,S_{ji}+S_{ij}\,W_{ji}+W_{ij}\,S_{ji}+W_{ij}\,W_{ji}\;.
$$Die gemischten Terme $S_{ij}W_{ji}$ und $W_{ij}S_{ji}$ verschwinden aus Symmetriegründen,$$ S_{ij}\,W_{ji} = -S_{ij}\,W_{ij} = -S_{ji}\,W_{ij} = -S_{ij}\,W_{ji}
\quad\implies\quad S_{ij}\,W_{ji} = 0\;,$$ so dass nur noch$$ \operatorname{Spur}(A^2)=
S_{ij}\,S_{ji}+W_{ij}\,W_{ji}=S_{ij}\,S_{ij}-W_{ij}\,W_{ij}
$$übrigbleibt.

2019-10-18 14:18 - tr_el im Themenstart schreibt:
Bei der dritten Invariante ist mir auch unklar, wie die Lösung zustande kommt.

Wegen $A_{11}=A_{22}=A_{33}=0$ bleiben in$$ \det A=\sum_{\pi\in S_3}\operatorname{sign}(\pi)\;
A_{1\pi(1)}\,A_{2\pi(2)}\,A_{3\pi(3)}
$$nur Permutationen ohne Fixpunkt – also solche mit $\pi(i)\ne i$ für alle $i$ – übrig. Davon gibt es aber nur zwei, nämlich die Zyklen $(123)$ und $(321)$, und für beide ist $\operatorname{sign}(\pi)=+1$:$$ \det A=A_{12}\,A_{23}\,A_{31}+A_{13}\,A_{21}\,A_{32}
$$Das kann man auch ein bisschen komplizierter schreiben, indem man die Faktoren umverteilt:$$ \begin{align*}
3\cdot\det A=
&A_{12}\,A_{23}\,A_{31}+A_{13}\,A_{32}\,A_{21}+\\
&A_{23}\,A_{31}\,A_{12}+A_{21}\,A_{13}\,A_{32}+\\
&A_{31}\,A_{12}\,A_{23}+A_{32}\,A_{21}\,A_{13}
\end{align*}
$$Da man wegen $A_{11}=A_{22}=A_{33}=0$ auch Summanden $A_{ij}\,A_{jk}\,A_{ki}$ ergänzen darf, für die $i=j$, $j=k$ oder $i=k$ ist, erkennt man$$ \det A=\frac13\;A_{ij}\,A_{jk}\,A_{ki}\;.
$$Hier musst du jetzt nur noch, genau wie oben, $A=S+W$ einsetzen und die Symmetrien von $S$ und $W$ ausnutzen.

--zippy



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tr_el
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.02.2019
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-22


Super vielen Dank!



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