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  Infimum und Supremum von Menge bestimmen |
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LineareAlgebruh
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 25.10.2019
Mitteilungen: 108
Wohnort: Bonn
 |  Themenstart: 2019-10-25
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Guten Abend liebe Community.
Ich habe folgende Aufgabe:
"Man bestimme das Infimum und Supremum folgender Mengen:"
M:={x€R | x²+x+1 ≥ 0}
Soo, das sieht auf den ersten Blick ja relativ simpel aus, Infimum und Supremum existieren hierbei nicht, weil es quasi immer ein kleineres/größeres x gibt, was die Gleichung erfüllt. Aber wie kann ich das zeigen? Das Problem ist: Wir sind noch nicht all zu weit in der Analysis, ich darf also nichts mit Ableitungen oder Monotonie etc. machen.
Ich hatte folgenden Ansatz: Sagen wir mal, es gäbe ein s€M, sodass:
s = inf M
Das heißt also: ∀x€M: x ≥ s
Wenn ich jetzt ein ein anderes Element finden könnte, welches kleiner ist als s, dann wäre das ein Widerspruch und s kann somit kein Infimum von M sein, weil s ja beliebig gewählt ist kann es also keine Infimum geben (ist diese Argumentation korrekt?). Zunächst muss ich aber zeigen, dass s Element aus M ist. Dazu muss s folgende Gleichung erfüllen:
s² + s + 1 ≥ 0
Wie kann ich zeigen, dass das gilt? Mit der Pq-Formel kommt man auf kein (reelles) Ergebnis, also gibt es kein s sodass die Gleichung 0 ist. Aber trotzdem muss ja gezeigt werden, dass die Gleichung strikt positiv ist, denn sie könnte ja auch negativ sein, aber halt ungleich 0?
Hätte da jemand eine Idee, wie man das zeigen kann?
Als nächstens Schritt würde ich dann s-1 betrachten. Es ist ja klar, dass s-1 < s ist, wenn aber s-1 auch Element aus M wäre dann würde das zu einem Widerspruch führen, also ist s nicht das Infimum, es gibt also keins. Hier stoße ich aber auf ein ähnliches Problem:
(s-1)² + (s-1) + 1 ≥ 0 <=> s² - s + 1 ≥ 0
Wie zeige ich nun, dass diese Gleichung strikt positiv ist?
Dasselbe würde ich dann für das Supremum machen, macht aber meine Idee überhaupt Sinn oder würdet ihr das anders machen? Danke schonmal im voraus!!!!
Viele Grüße
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Hallo und herzlich Willkommen hier auf dem Matheplaneten!
Um \(x^2+x+1\ge 0\) zu zeigen, splitte das Absolutglied 1 so auf, dass du ein Binom erhältst. Ergänze dazu am besten ersteinmal in Gedanken den Term \(x^2+x\) zum Binom.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Ungleichungen' von Diophant]\(\endgroup\)
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LineareAlgebruh hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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2023-09-30 16:09 U <
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