| |
| Autor |
 Existiert dieses Maß? |
|
EpsilonDelta
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 12.12.2011
Mitteilungen: 1356
 |  Themenstart: 2019-10-26
|
Ich habe gezeigt, dass ein \(\sigma\)-endliches Maß auf der Borelmengen \((\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))\) existiert, sodass \(\mu((a,b])=\infty\) sobald \(a0\) auch \(\mu(A)>0\) gelten kann. Hier ist \(\lambda\) das gewöhnliche Lebesgue-Maß.
Bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter.
|
 Profil
|
Confusion
Junior 
Dabei seit: 03.11.2014
Mitteilungen: 19
| Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-27
|
Guten Abend EpsilonDelta,
mit der Angabe über das Lebesgue-Maß weißt du, dass A bezüglich des Lebesgue-Maßes keine Nullmengen enthält.
Wenn du also zeigen kannst, dass alle Nullmengen deines Maßes $\mu$ auch auch Nullmengen bezüglich des Lebesgue-Maßes sind, hast du die Behauptung gezeigt. Findest du ein Gegenbeispiel, hast du sie widerlegt. Überlege dir also, wie die Nullmengen deines Maßes denn aussehen.
Liebe Grüße,
Confusion
|
Profil
|
EpsilonDelta
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 12.12.2011
Mitteilungen: 1356
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-27
|
Hallo Confusion!
Danke für die Antwort! Ich habe bereits versucht per Kontraposition zu beweisen. Allerdings hänge ich auch hier, da es beispielsweise Cantor Mengen gibt, die kompakt sind und Lebesgue Maß Null haben. Dann wiederum weiß ich nicht wie genau das Maß \(\mu\) auf anderen Mengen aussieht.
Ein (naiver) Ansatz wäre zu sagen, dass Punktemengen die einzigen Nullmengen von \(\mu\) sind, dann wäre die Behauptung gezeigt. Jedoch kann ich nicht Beweisen, dass nicht auch sehr spezielle bzw. pathologische Menge existieren, auf denen \(\mu\) dann Maß Null haben kann.
|
Profil
|
zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4647
 | Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-27
|
Um der Diskussion etwas Substanz zu geben, wäre es ganz hilfreich, wenn du mal bescheiben würdest, wie du $\mu$ konstruiert hast, so dass es trotz $\mu(G)=\infty$ für alle offenen Mengen $\sigma$-endlich bleibt.
|
Profil
|
EpsilonDelta
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 12.12.2011
Mitteilungen: 1356
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-27
|
Hallo Zippy!
Definiere \(\mu(A):=|A\cap \mathbb{Q}|\). Dieses Maß ist auf der Potenzmenge der reellen Zahlen definiert und somit auch auf den Borelmengen selbst.
Weiters sei \(\mathbb{Q}=\bigcup_{i\ge 1} A_i,\ A_i=\{q_i\},\ q_i\in \mathbb{Q}\) eine Abzählung der rationalen Zahlen. Dann definieren wir noch \(A_0:=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)
Es ist dann \(\mathbb{R}=\bigcup_{i\ge 0}A_i\) mit \(\mu(A_i)<\infty\)
aber \(\mu((a,b])=\infty\) für \(a
|
Profil
|
EpsilonDelta
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 12.12.2011
Mitteilungen: 1356
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-27
|
Profil
|
zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4647
| Beitrag No.6, eingetragen 2019-10-27
|
Dann musst du doch eigentlich nur $\mu$ durch $\mu+\lambda$ ersetzen, um die Frage mit ja zu beantworten.
|
Profil
|
| EpsilonDelta hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
