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Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Fehler beim Lösen einer homogenen Zustandsdarstellung
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Universität/Hochschule Fehler beim Lösen einer homogenen Zustandsdarstellung
xxxyyy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-26


Hallo,

ich habe in unterem Bild mal versucht eine Zustandsdarstellung zu lösen.
Zunächst habe ich die Eigenwerte von A berechnet und daraus dann die Eigenvektoren abgeleitet.
Dann habe ich die 2 so erhaltenen Lösungen linear miteinander kombiniert um die allgemeine Lösung zu bekommen.

PROBLEM: Es soll ja gelten dx1 = x2. Das gilt aber bei meiner gefundenen allgemeinen Lösung nicht mehr. D.h. irgendwo muss ein Fehler liegen.

Wäre super, wenn jemand den Fehler finden würde.

Danke vorab ;)




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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-27


\(c_1\) und \(c_2\) sind beliebige Konstanten und deswegen muss \(\dot{x}_1\) nur gleich einem der verschiedenen \(x_2\) sein.



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xxxyyy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-27


Hi,

könntest du das noch etwas ausführen?
Wenn ich den hinteren Summanden in der ersten Zeile ableite erhalte ich doch:
1*e^(-3t)+t*(-3)*e^(-3t) und das muss ja dann gleich -3*t*e^(-3t) sein?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, xxxyy,

deine Lösung des Systems ist leider falsch - so wären ja alle Lösungen von der Form \((at+b) e^{-3t}\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}\), und du könntest keine AWP lösen.

Guck noch mal genau nach, wie man Systeme mit mehrfachen Eigenwerten behandelt - insbesondere wenn die geometrische Vielfachheit kleiner als die algebraische ist.

Wally
\(\endgroup\)


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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-27


2019-10-27 09:09 - xxxyyy in Beitrag No. 2 schreibt:
Hi,

könntest du das noch etwas ausführen?
Wenn ich den hinteren Summanden in der ersten Zeile ableite erhalte ich doch:
1*e^(-3t)+t*(-3)*e^(-3t) und das muss ja dann gleich -3*t*e^(-3t) sein?

Der hintere Summand in der ersten Zeile entspricht einem \(c_1=0, c_2=1\) und die Ableitung davon stimmt mit der zweiten Zeile überein für \(c_1=-\frac13, c_2=1\). Die erste Zeile für sich allein ist die Lösung für \(x_1\), doch ich sehe jetzt auch, dass man das dazugehörige \(x_2\) nicht so wie in deiner Lösung dazuschreiben kann.



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xxxyyy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-27


D.h. der Ansatz mit dem t* für eine zweite Lösung ist falsch?



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-10-27


Der Ansatz ist richtig, prüfe es selbst nach:

\(x_1 = t e^{-3 t}\)

\(x_2 = \dot{x}_1 = e^{-3 t} - 3 t e^{-3 t}\)

\(\dot{x}_2 = - 3 e^{-3 t} - 3 e^{-3 t} + 9 t e^{-3 t}\)

\( -9 x_1 -6 x_2 = -9 t e^{-3 t} -6 e^{-3 t} + 18 t e^{-3 t} = -6 e^{-3 t} + 9 t e^{-3 t} = \dot{x}_2 \)

Nicht richtig ist deine Zusammenfassung beider Teillösungen \(x_1 , x_2\) in einem Vektor.




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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-27


Das ist so richtig für eine skalare Dgl. 2. Ordnung und falsch, wenn man das zugehörige System mit Eigenwerten und -vektoren lösen will.

Wally



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-10-27


Genauso habe ich die auch Aufgabe gerechnet. Die erste Gleichung \(\dot{x}_1 = x_2\) eingesetzt in die zweite Gleichung \(\dot{x}_2 = -9 x_1 - 6 x_2\) ergibt \(\ddot{x}_1 + 6 \dot{x}_1 + 9 x_1 = 0 \) mit dem gleichen charakteristischen Polynom. Für eine allgemeinere Matrix A funktioniert das nicht, das sehe ich schon ein. Ich wollte damit zeigen, dass die Lösung nicht falsch ist.



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xxxyyy
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2019-10-27 16:57 - Wally in Beitrag No. 7 schreibt:
Das ist so richtig für eine skalare Dgl. 2. Ordnung und falsch, wenn man das zugehörige System mit Eigenwerten und -vektoren lösen will.

Wally

Ja, skalar habe ich es auch schon gerechnet. Das scheint zu funktionieren.

Leider fehlt mir hier vollkommen der Ansatz (du meintest ja meine oben gepostete Lösung ist falsch).



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-10-27


In dgl1-06.pdf ist auf Seite 107 ein Beispiel gerechnet (6.30) mit dreifachem Eigenwert 1 und nur einem Eigenvektor.
 



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