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Matroids Matheplanet Forum Index » Mathematik » Warum gilt hier #A≤#B und nicht #A=#B?
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Universität/Hochschule Warum gilt hier #A≤#B und nicht #A=#B?
Eichhoernchen111
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-01


Hi,
sagen wir A und B sind Mengen, dann ist es ist doch so, dass wenn #A≤#B und g: A-->B surjektiv ist, dann ist g bijektiv.

Aber das geht doch nur, wenn #A=#B, oder?

Denn wenn #A<#B wäre, dann könnte doch nicht jedes b aus B ein Urbild haben, oder sehe ich das falsch?

LG:)



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-01


Hallo Eichhoernchen111,

2019-11-01 13:58 - Eichhoernchen111 im Themenstart schreibt:
sagen wir A und B sind Mengen, dann ist es ist doch so, dass wenn #A≤#B und g: A-->B surjektiv ist, dann ist g bijektiv.

Sollen A und B endliche Mengen sein? Sonst gilt das nämlich nicht unbedingt.



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Eichhoernchen111
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-01


vielen Dank für deine Nachricht:) Ja, A und B sind endliche Mengen



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-01


Okay.

Wenn g surjektiv und #A < #B, dann ist g bijektiv.

Dies ist tatsächlich eine wahre Aussgae, wenn auch etwas sinnfrei, da es keine solche surjektive Funktion gibt.




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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-01


Überlege dir, wieso aus Surjektivität von $g$ und $|A| \leq |B|$ auf endliche Mengen folgt, dass $|A| = |B|$. (Nun gut, das ist eine Folgerung aus der Bijektivität von $g$, aber hierzu: was wäre denn, wenn $g$ nicht injektiv wäre?)


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Eichhoernchen111
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-01


2019-11-01 14:15 - StrgAltEntf in Beitrag No. 3 schreibt:

wenn auch etwas sinnfrei, da es keine solche surjektive Funktion gibt.



Ok, vielen Dank habe dass dann verstanden:)
Aber für die Injektivität würde es so eine Funktion geben, oder? Also wenn z.B. #A≥#B und g: A-->B injektiv ist, dann ist g bijektiv, aber hier müsste dann nicht #A=#B gelten, oder?
VG

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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Eichhoernchen111
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-01


2019-11-01 14:19 - Kezer in Beitrag No. 4 schreibt:
Überlege dir, wieso aus Surjektivität von $g$ und $|A| \leq |B|$ auf endliche Mengen folgt, dass $|A| = |B|$. (Nun gut, das ist eine Folgerung aus der Bijektivität von $g$, aber hierzu: was wäre denn, wenn $g$ nicht injektiv wäre?)

Dann hätte man doch das Problem, dass wenn g nicht injektiv wäre es auch nicht zu jedem y ein x geben könnte weil ja gilt, dass |A| = |B|, oder nicht?
VG



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-01

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Es sei $g\colon A\to B$ surjektiv.
Das bedeutet $g^{-1}(\{b\})\not=\emptyset$ $\forall b\in B$.
Mit dem Auswahlaxiom folgt, dass es ein Element $\alpha=(a_b)_b\in \prod_{b\in B}g^{-1}(b)$ gibt. Setze $f_\a\colon \defeq B\to A, b\mapsto a_b$.
Das ist eine wohldefinierte Abbildung und diese ist injektiv, denn wenn $a_b=f(b)=f(b')=a_{b'}$ dann folgt $b=g(a_b)=g(a_{b'})$.

Es gilt in diesem Fall also $\# B\leq \#A$.
Wenn gleichzeitig $\#A\leq \#B$ gilt, dann folgt aus dem Satz von Cantor-Bernstein $\#A=\#B$.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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Kezer
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 397
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-01


Du solltest dir klar machen, dass bijektive Funktionen Kardinalitäten erhält. Die Aussage ist wie im analogen Fall für surjektive Funktionen korrekt und ebenso folgt $|A| = |B|$.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-01

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2019-11-01 14:23 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 7 schreibt:
Es sei $g\colon A\to B$ surjektiv.
Das bedeutet $g^{-1}(\{b\})\not=\emptyset$ $\forall b\in B$.
Mit dem Auswahlaxiom folgt, dass es ein Element $\alpha=(a_b)_b\in \prod_{b\in B}g^{-1}(b)$ gibt. Setze $f_\a\colon \defeq B\to A, b\mapsto a_b$.
Das ist eine wohldefinierte Abbildung und diese ist injektiv, denn wenn $a_b=f(b)=f(b')=a_{b'}$ dann folgt $b=g(a_b)=g(a_{b'})$.

Es gilt in diesem Fall also $\# B\leq \#A$.
Wenn gleichzeitig $\#A\leq \#B$ gilt, dann folgt aus dem Satz von Cantor-Bernstein $\#A=\#B$.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
EDIT: Für endliche Mengen ist es einfacher.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Kezer
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2019-11-01 14:23 - Eichhoernchen111 in Beitrag No. 6 schreibt:
2019-11-01 14:19 - Kezer in Beitrag No. 4 schreibt:
Überlege dir, wieso aus Surjektivität von $g$ und $|A| \leq |B|$ auf endliche Mengen folgt, dass $|A| = |B|$. (Nun gut, das ist eine Folgerung aus der Bijektivität von $g$, aber hierzu: was wäre denn, wenn $g$ nicht injektiv wäre?)

Dann hätte man doch das Problem, dass wenn g nicht injektiv wäre es auch nicht zu jedem y ein x geben könnte weil ja gilt, dass |A| = |B|, oder nicht?
VG

Prinzipiell ja. Das Argument funktioniert für $|A| \leq |B|$. Die Bijektivität liefert dann schließlich Gleichheit.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


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Vielen Dank für all eure Nachrichten:)
"Die Bijektivität liefert dann schließlich Gleichheit."

Für die Injektivität würde es dann doch nicht so eine Funktion geben, oder?  wenn  #A≥#B und g: A-->B injektiv ist, dann ist g bijektiv, aber hier müsste dann doch auch#A=#B gelten, oder?



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Wie meinst du das "doch nicht so eine Funktion geben"?

Auf endlichen Mengen folgt aus Injektivität oder Surjektivität stets Bijektivität. Entsprechend kann es nur injektive/surjektive Funktionen zwischen endlichen Mengen mit gleicher Kardinalität geben.


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