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Zahlentheorie » Teilbarkeit » Anzahl aller Teiler einer großen Potenz bestimmen
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Universität/Hochschule J Anzahl aller Teiler einer großen Potenz bestimmen
nusskuchen44
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-01


Hi, es geht um folgende Problemstellung:


"Seien \(p_1,\ldots,p_n\) paarweise verschiedene Primzahlen und \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{N}\). Wie viele Teiler hat die Zahl \(x := p_1^{\lambda_1}\cdot\ldots\cdot p_n^{\lambda_n}\)?"


Ich hab mir da schon ein paar Gedanken zu gemacht, und eigentlich erscheint die Lösung recht trivial, trotzdem bin ich verunsichert. Ich weiss, da die Zahlen prim und paarweise verschieden sind, dass alle Zahlen der Form:
\[ p_1^{0\leq\eta_1\leq \lambda_1}\cdot \ldots \cdot p_n^{0\leq\eta_n \leq \lambda_n} \]
eben die Teiler der Zahl \(x\) sind. Stimmt das so?

Und wenn das stimmt, dann sollte deren Anzahl doch kombinatorisch berechnen lassen, und eben \(\prod_{i=1}^{n}\lambda_i\) sein, da ich für jeden der Exponenten \(\eta_i\) eben genau \(\lambda_i\) viele Möglichkeiten habe, richtig?

Was mich noch wundert, was jetzt **nicht** Teil der Aufgabe ist, aber was ist wenn die \(\lambda_i\) 0 sein können? Dann macht mir das ja das ganze Produkt kaputt. Muss man diese dann ausschliessen?

Danke für die Hilfe!  :-)

P.S: Tut mir Leid wenn ich Grammatikfehler eingebaut habe. Kann (noch) nicht so gut Deutsch.



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Hallo nusskuchen44,

2019-11-01 16:05 - nusskuchen44 im Themenstart schreibt:
Ich hab mir da schon ein paar Gedanken zu gemacht, und eigentlich erscheint die Lösung recht trivial, trotzdem bin ich verunsichert. Ich weiss, da die Zahlen prim und paarweise verschieden sind, dass alle Zahlen der Form:
\[ p_1^{0\leq\eta_1\leq \lambda_1}\cdot \ldots \cdot p_n^{0\leq\eta_n \leq \lambda_n} \]
eben die Teiler der Zahl \(x\) sind. Stimmt das so?
Das ist richtig.


Und wenn das stimmt, dann sollte deren Anzahl doch kombinatorisch berechnen lassen, und eben \(\prod_{i=1}^{n}\lambda_i\) sein, da ich für jeden der Exponenten \(\eta_i\) eben genau \(\lambda_i\) viele Möglichkeiten habe, richtig?
Das ist falsch.


Was mich noch wundert, was jetzt **nicht** Teil der Aufgabe ist, aber was ist wenn die \(\lambda_i\) 0 sein können? Dann macht mir das ja das ganze Produkt kaputt. Muss man diese dann ausschliessen?
Die 0en stören nicht. Was meinst du mit "Produkt kaputtmachen"?
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-01


Hallo nusskuchen44,

2019-11-01 16:05 - nusskuchen44 im Themenstart schreibt:
\[ p_1^{0\leq\eta_1\leq \lambda_1}\cdot \ldots \cdot p_n^{0\leq\eta_n \leq \lambda_n} \]

So würde ich das nicht schreiben. Besser
\[p_1^{\eta_1}\cdot...\cdot p_n^{\eta_n}\text{ mit }0\leq\eta_i\leq\lambda_i\]



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nusskuchen44
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-01


Hallo tactac und Danke für dein Antwort,

Ich denke ich habe jetzt verstanden wo das Problem liegt. Ich habe die 0 vergessen. Es sollte
\[\prod_{i=1}^n (\lambda_i + 1)\] sein, korrekt?

Liebe Grüsse

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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nusskuchen44
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-01


Hallo StrgAltEntf,

danke für deinen Beitrag. Ich verstehe dass das nicht sehr formal korrekt ist. Ich studiere Elektrotechnik, und wir nutzen überall solch unsauberen Notationen; genau solche Exponenten kommen in meinem Skript und den Übungen ständig vor, deswegen will ich mich da anpassen :)

Aber vielen Dank für den Hinweis.



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2019-11-01 16:27 - nusskuchen44 in Beitrag No. 3 schreibt:
[...]
Es sollte
\[\prod_{i=1}^n (\lambda_i + 1)\] sein, korrekt?
Ja.
\(\endgroup\)


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nusskuchen44
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-01


Vielen Dank, tactac!




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