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Analysis » Folgen und Reihen » Wie zeige oder widerlege ich diese Konvergenzaussage?
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Autor
Universität/Hochschule Wie zeige oder widerlege ich diese Konvergenzaussage?
LineareAlgebruh
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.10.2019
Mitteilungen: 17
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-01


"Sei \(a_n\) eine Folge reeller Zahlen.
Wenn \(a_n \rightarrow a^{*}\), dann \(\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n}a_i\rightarrow a^{*}\)"

Okay. Ich habe mal ein paar Folgen getestet und es \({scheint}\) zu stimmen, leider weiss ich garnicht wie das zeigen kann. Das sah erst so aus, als könne man das mit einem Standard Epsilon Beweis zeigen, aber diese Summe bereitet mir Kopfschmerzen.

Ich habe ein wenig umgeformt, aber ich weiss nicht ob mir das irgendwas bringen soll.

\(|(\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n}a_i) -a^*|\leq\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n}|a_i - a^*|\)

 Hätte jemand vielleicht einen heißen Tipp für mich? Danke im voraus!



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2428
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-01


Hallo,

einen Beweis der Aussage findest du hier:

article.php?sid=1805

Ich empfehle dir den Artikel sorgfältig zu studieren.
Jedenfalls die Beweise die du mit deinem jetzigen Stand verstehen kannst.




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Conny42
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.07.2018
Mitteilungen: 88
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-01


Huhu LineareAlgebruh,

die Aussage stimmt und du kannst sie auch mit einem "Epsilon-Beweis" zeigen: Sei $\varepsilon > 0$. Dann gibt es wegen $a_n \rightarrow a^*$ ein $N \in \mathbb{N}$, so dass für alle $n\geq N$:

$|a_n-a^*| < \varepsilon$.

Jetzt kannst du die Summe für $n\geq N$ aufteilen:

$\left(\frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^n a_i\right)-a^* = \frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^N a_i-a^* + \frac{1}{n+1} \sum_{i=N+1}^n a_i-a^*$.

Damit bekommst du

$|\left(\frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^n a_i\right)-a^*| \leq \frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^N |a_i-a^*| + \frac{1}{n+1}\sum_{i=N+1}^n |a_i-a^*|$.

Versuche jetzt, beide Summen auf der rechten Seite abzuschätzen.

Liebe Grüße,
Conny





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