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Elementare Zahlentheorie » Zahlen - Darstellbarkeit » ... eine zwei-dimensionale Sicht auf Goldbachs (starke) Vermutung
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Kein bestimmter Bereich ... eine zwei-dimensionale Sicht auf Goldbachs (starke) Vermutung
PriMath
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Mitteilungen: 11
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-03


Hallo MathFans !

In den vergangenen beiden Posts hab ich versucht die Zusammenhänge zw. der ‚Allgemeinen Teilerfläche‘ und Primzahl-Zwillingen/-Vierlingen bzw. der Faktorisierungsmethode von Fermat aufzuzeigen.
Dieses Mal möchte ich die ‚Allgemeine Teilerfläche‘ (in der Standard- und transformierten Form) nutzen um ‚Goldbachs starke Vermutung‘ zu visualisieren.

Zunächst der Wortlaut der Vermutung:
==> Jede gerade Zahl größer als 2 ist die Summe zweier Primzahlen! <==

Anmerkung:
Die Primzahl 2 hab ich bei allen weiteren Betrachtungen ausgenommen (weil sie nur zur Bildung der Zahl $4 = 2 + 2$ genutzt werden kann).

Los geht’s mit der Standard-Teilerfläche:


--> Der Zahlenstrahl ist, wie immer, auf der Y-Achse aufgetragen.
--> Die natürlichen Teiler sind auf der X-Achse aufgetragen.
--> Jede natürliche Teilbarkeit ist als ein Teiler-Punkt in der Fläche erkennbar.

Die Verbindungen zw. allen Teiler-Punkten sind über
-        Geraden der Form $tx$ und
-        Parabeln der Form $–x^2 + (t1 + t2)x$
gegeben ($t, t1, t2 =$ Teiler).

Zur Untersuchung der Fragestellung
==> Auf welche Weise kann die Zahl 32 aus 2 Primzahlen additiv zusammen gesetzt werden ? <==
ist die Parabel $–x^2 + 32x$ farblich violett hervor gehoben.

--> Es existieren genau 2 Lösungen:
    $32 = 13 + 19$
    $32 =  3 + 29$

Warum es nur diese beiden Lösungen geben kann wird deutlicher, wenn die Darstellung auf das Wesentliche reduziert wird.


--> Jetzt ist nur noch die Parabel $–x^2 + 32x$ und die Geraden der Form $px$ zu sehen.
--> Lösungen sind dann gegeben, wenn der (positive) Schnittpunkt dieser Parabel mit einer Geraden $px$ (mit p = Prim-Zahlen 3,5,7 u.s.w.) eine Primzahl-X-Koordinate aufweist.

Beispiel:
$-x^2 + 32x = 3x$ führt zum (positiven) Schnittpunkt $S(29,3*29=87)$.

Zu guter Letzt möchte ich noch eine Darstellung beisteuern, die ALLE Goldbach’schen Lösungen zu ALLEN geraden Zahlen OHNE Redundanzen aufzeigt.

--> Grundlage ist eine transformierte allgemeine Teilerfläche.
--> ALLE Parabeln der Form $–x^2  + (t1 + t2)x$ hab ich soweit ‚nach links verschoben‘, dass der Scheitelpunkt dieser Parabeln jeweils auf der Y-Achse zum Liegen kommt (eingeschränkt auf Parabeln mit $t1 + t2 =$ gerade).


--> JEDE Parabel repräsentiert eine gerade Zahl !
--> Die aus der Transformation entstandenen ‚Prim-Geraden‘ haben die Form $2px + p^2$ bzw. $-2px + p^2$.

Beispiel-Zahl 32:
 
1. Lösung:
$-x^2 + (32/2)^2 = 2*3x + 3^2$ führt zum (positiven) Schnittpunkt $S(13,3*29=87)$ und der Differenz $2*13 = 26 = 29–3$.
2. Lösung:
$-x^2 + (32/2)^2 = 2*13x + 13^2$ führt zum (positiven) Schnittpunkt $S(3,13*19=247)$ und der Differenz $2*3 = 6 = 19–13$.

==> Die Schnittpunkte der 'Prim-Geraden' auf DIESER und ALLEN ANDEREN Parabeln liefern AUSSCHLIESSLICH ZULÄSSIGE LÖSUNGEN der additiven Zerlegung gerader Zahlen in 2 Primzahlen !

Anmerkung:
--> Die X-Achse repräsentiert jetzt NICHT MEHR die Teiler einer Zahl, sondern gibt die (halbe) Differenz zwischen den beiden Teilern einer Zahl wieder.



Fazit:
--> Die (starke) Goldbach’sche Vermutung wäre FALSCH, wenn es irgendwo eine Parabel gäbe gänzlich OHNE SCHNITTPUNKTE der ‚Prim-Geraden‘ !?

Es bleibt also ‚nur noch‘ zu beweisen, dass der ‚Platz für Schnittpunkte auf den Parabeln‘ stärker wächst als die Anzahl der Primzahlen abnimmt  :-D

Viele Grüße !
PriMath




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juergenX
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 102
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-07


wenn du einen Zwilling (p,p+2 )kennst mit dem Millelwert n=p+1

so ist
a=p
b=p+2

c=a+b=c= 2p+2=2n.

Vorrausgesetzt man weiss was ein radikal ist,
$abc= p(p+2)\cdot (2p+2)= (p^2+2p)\cdot (2p+2)=p^3+4p^2+2p^2+4p$
und das Radikal $rad(abc) \le abc /2$, da b gerade.

Bei Zwillingspaerchen sind a.b,c teilerfremd. Aber a+b gerade.
Die Partition von 2n in p(p+2) hat das maximale radikal rad (abc)/2,
Nach Goldbach kann man jedes gerade  n so in (p-1)(p+1) splitten , dass

$rad(abc)=abc/2$ maximal. da n immer durch 2 teilbar.

So kannst du, Golbach vorrausgesetzt, Partitionen von jeder geraden Zahl z.B. 18 = (n-1)(n+1)=17+19 bilden, so dass $abc=5814$, aber $rad(abc)=2*3*17*18= 1938=abc/4$. rad (abc) maximal.

Gäbe es nun gerade n mit $n = (p-3)(p+3)$ so wäre rad(abc) maximal $(p-3)(p+3)*n=(P^2-9)*n/2^k= (P^2-9)*n$ wesentlich kleiner als
$(p-1)(p+1)*n=(P^2-1)*n/2^k= (P^2-1)*n$.
Ich will hier und kann nichts beweisen und habe das auch noch nicht zu ende gedacht,
aber es gibt einen Zusammenhang der abc-vermutung zur Goldbachvernutung.

Also $\frac{rad(abc)}{c}$  kann nur maximal fuer jeses festes gerades c=n werden, wenn Goldbach stimmt.



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PriMath
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.05.2019
Mitteilungen: 11
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-09


Hallo juergenX,
die Frage nach den Zusammenhängen zw. Goldbach- und abc-Vermutung ist interessant. Mir war gar nicht aufgefallen, dass meine Beispielzahl 32 der zweite abc-Treffer ist.

$a=5, b=27=3^2, c=32=2^5, rad(abc)=2*3*5=30 < 32$

Ich denke, in deinem post haben sich noch'n paar Tipp-Fehler eingeschlichen ;-)

$abc=p(p+2)⋅(2p+2)=(p^2+2p)⋅(2p+2)=p^3+4p^2+2p^2+4p$
und das Radikal $rad(abc)≤abc/2$, da $b$ gerade.
...
Nach Goldbach kann man jedes gerade  $n$ so in $(p-1)(p+1)$ splitten , dass $rad(abc)=abc/2$ maximal, da $n$ immer durch $2$ teilbar.


So sollte es korrekt sein:
$abc=p(p+2)⋅(2p+2)=(p^2+2p)⋅(2p+2)=2p^3+4p^2+2p^2+4p$
und das Radikal $rad(abc)≤abc/2$, da $c$ gerade.
...
Nach Goldbach kann man jedes gerade  $n$ so in $(t-1)(t+1)$ splitten , dass $rad(abc)=abc/2$ maximal, da $n$ immer durch $2$ teilbar.

Wenn man jedes gerade $n$ in $(p-1)(p+1)$ (mit p=prim) splitten könnte gäb's keine offene Primzahl-Zwillingsvermutung ;-)

Übrigens, diese Darstellung (von Adam Cunningham und John Ringland) liefert ebenfalls ALLE 'Goldbach-Kombinationen' (nur nicht in der Teiler-Fläche) ;-)
hier


Viele Grüße !
PriMath



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juergenX
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-12


2019-11-09 14:24 - PriMath in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo juergenX,
..
Nach Goldbach kann man jedes gerade  n so in (t−1)(t+1) splitten , dass rad(abc)=abc/2 maximal, da n immer durch 2 teilbar.



p+p+2=2p+2
p+1=n

Es ist sogar rad(abc)=abc/4  maximal, da n gerade und n/2 gerade.
z.B. 11+13=24
rad(11,13,24) ist hier sogar nur 11*13*2*3=858.
abc = 3432.
c=2n =24

$\frac{rad(abc)}{c}) = \frac{858}{24} = 35.75$,

Fuer vorgegebenes c = 24 ist das der maxinal erreichbare Bruch.
Fuer jedes vorgegebene gerade c ist der maxinal erreichbare Bruch bestimmbar nach Goldbach.
Die Partition a+b=c ,c gerade  a,b, prim hat immer das maximale radikal(abc) und existiert immer!

Es gibt noch eine Aussage wie die Zwillingspaerchen mod 16 aufgeteilt sind.

Ich weiss da eben noch keine weiteren Schluesse zu machen

J



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PriMath
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.05.2019
Mitteilungen: 11
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17 11:52


Hallo juergenX,

ich denke, Annahmen und bewiesene Erkenntnisse sollten wir strikt auseinander halten.

...
Fuer jedes vorgegebene gerade c ist der maxinal erreichbare Bruch bestimmbar nach Goldbach. (???)
Die Partition a+b=c ,c gerade  a,b, prim hat immer das maximale radikal(abc) und existiert immer! (???)
...


--> Goldbachs und die Primzahl-Zwillings-Vermutung sind (noch) nicht bewiesen!
Zur Zwillingsvermutung hatte ich schon mal folgende Argumente formuliert:
--> ... eine zwei-dimensionale Sicht auf (unendlich viele ?!) Primzahlen, -Zwillinge und -Vierlinge !
 
Bitte beachte folgende Restriktionen:
--> In der Mitte von Primzahl-Zwillingen stehen immer nur gerade Zahl, die durch $6$ teilbar sind (weil alle Primzahlen, außer der $2$ und der $3$, 'Nachbarn' des Vielfachen von $6$ sind)!
--> D.h., $2/3$ aller GERADEN Zahlen können NICHT 'von Primzahlen umrahmt' sein !
--> Und eine durch $6$ teilbare Zahl muss NICHT ZWINGEND von Primzahlen umgeben sein !
--> Die erste durch $6$ teilbare Zahl, die BEIDSEITIG KEINE Primzahl-Nachbarn hat ist die $120$.

$a=119=7*17$,  $b=121=11^2$,  $c=240=2^4*3*5$,  $rad(abc)=2*3*5*7*11*17=39270$

In einem hast du natürlich recht:
--> WENN (!) ein $c/2$ zwischen zwei Primzahlen $(c/2)-1$ und $(c/2)+1$ liegt ist $rad(abc)$ für dieses $c$ maximal.

Viele Grüße !
PriMath



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