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Analysis » Topologie » Abgeschlossene Umgebung konvex
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Universität/Hochschule Abgeschlossene Umgebung konvex
Karankos99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-05


Wie kann man zeigen, dass die Menge $\{z \in \mathbb{C}:|z-z_0|<M\}$ konvex ist?

Vorstellen kann ich mir das, weil wir ja praktisch in einem abgeschlossenen Kreis sind und dann eben auch die ganze Linie $\lambda z +(1-\lambda)z_0$ in der Menge enthalten sein muss. Aber wie kann man das formal zeigen?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-05


Indem du die Definition der Menge benutzt. Probiere es einmal.



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Karankos99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-05


Also es ist ja klar, dass die Punkte auf der Linie ja eine kleinere Entfernung zu $z_0$ haben und deswegen auch in der Menge enthalten sind. Also, dass gilt  $|(\lambda z +(1-\lambda)z_0)-z_0| \leq |z-z_0| \leq M$ für $0 \leq \lambda \leq 1$. Aber wie begründet man das mathematisch?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-06


Vereinfache zunächst einmal $(\lambda z + (1-\lambda) z_0) - z_0$.

Dann siehst du es direkt.

Übrigens: du zeigst ja lediglich, dass die Linie zwischen $z_0$ und $z \in B$ (wobei $B$ die Menge ist) in $B$ liegt. Es muss aber gezeigt werden, dass für je zwei $z,z' \in B$ die Linie zwischen $z$ und $z'$ in $B$ liegt.



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Karankos99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-06


Ahja, also wir erhalten $\lambda|z-z_0|$, was ja durch die Wahl von $\lambda$ kleiner gleich $|z-z_0|$ ist.
Hmm, aber für beliebige $z,z' \in B$ betrachten wir ja dann
$|(\lambda z+(1-\lambda)z')-z_0|$. Da können wir das ja hier wegen $z'$ nicht so vereinfachen... mit der Dreiecksungleichung könnte man das mit $\lambda |z-z'|+|z-z_0|$ abschätzen. Aber ich sehe auch nicht wie das weiterhilft... bringt das was? Oder wie sonst?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-06


Summiere den Ausdruck im Betrag mit $\lambda z_0 - \lambda z_0$ (wodurch er sich ja nicht ändert), dann siehst du es.

Wie ich darauf komme: Wenn wir $\lambda z$ stehen haben und lediglich etwas über $z-z_0$ wissen, liegt es nahe, $\lambda z -  \lambda z_0$ zu betrachten. Um das wieder gut zu machen, muss man wieder $\lambda z_0$ addieren. Diesen Teil "verarztet" man dann aber mit $z'$.

Das ist ein Beispiel für die Methode, die ich in diesem Artikel erklärt habe: article.php?sid=1805



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Karankos99
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-06


Hmm. Also erhalten wir $|(\lambda z +(1-\lambda) z')-z_0|=|\lambda z -\lambda z_0 +z'+\lambda z_0 - \lambda z' -z_0|$?
Ich sehe es nicht, weil ich die einzelnen Terme jetzt mit $M$ abschätzen könnte, sie ja aber in der Summe mit $3M$ abgeschätzt werden würden....
Also, was ich meine ist, dass man ja jetzt die Gleichung noch mit $\lambda |z-z_0| +\lambda |z_0-z'| +|z'-z_0| \leq 3M$ abschätzen könnte, aber wir ja $M$ alleine auf der rechten Seite stehen haben müssten....



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-06


Bleibe mal beim $1-\lambda$ beim zweiten Teil des Ausdrucks mit $z'$ (also fasse wieder etwas zusammen). Denke daran, was du eigentlich gegeben hast und wie du es ausnutzen kannst bzw. musst. Dann wende wieder die $\Delta$-Ungleichung an.



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