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Schulmathematik » Terme und (Un-) Gleichungen » Lösung einer Formel
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Universität/Hochschule Lösung einer Formel
Nexxuz
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-06


Hi,

auch wenn ich nicht mehr in der Schule bin, vermute ich, dass mein Problem hier ist lösen sein sollte. In einem Paper, dass ich eigentlich benutzen wollte kommt folgende Formel vor:
\[W(x) = \frac{a}{x^{0.7}} + \frac{b}{x} + c \]
Dabei sind \(a, b, c\) "konstanten", \(W(x)\)habe ich bestimmt und ich würde gerne die Formel nach x umstellen. Das Paper stellt es so da, als wäre die Lösung trivial, gibt sie aber nicht an.  
Numerisch könnte ich x natürlich durch Programme bestimmen lassen, dies kommt mir aber relativ unsauber gearbeitet vor, wenn die Formel auch eine Lösung haben könnte.

Weiß jemand die Lösung?

Danke schonmal für eure Hilfe,
Nexxuz



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2324
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-06

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo Nexxuz und Willkommen hier auf dem Matheplanet!

2019-11-06 12:00 - Nexxuz im Themenstart schreibt:
Hi,

auch wenn ich nicht mehr in der Schule bin, vermute ich, dass mein Problem hier ist lösen sein sollte. In einem Paper, dass ich eigentlich benutzen wollte kommt folgende Formel vor:
\[W(x) = \frac{a}{x^{0.7}} + \frac{b}{x} + c \]
Dabei sind \(a, b, c\) "konstanten", \(W(x)\)habe ich bestimmt und ich würde gerne die Formel nach x umstellen. Das Paper stellt es so da, als wäre die Lösung trivial, gibt sie aber nicht an.

Aus gutem Grund: das ist alles andere als trivial, es ist sogar i.a. gar nicht möglich. Algebraisch gesehen läuft das nämlich auf eine Gleichung 10. Ordnung hinaus, und solche Gleichungen kann man - bis auf Ausnahmefälle - überhaupt nicht nach x auflösen. Das geht nämlich für den allgemeinen Fall nur bis zur 4. Ordnung.

Insofern wird dir hier gar nichts anderes übrig bleiben, als zu numerischen Methoden zu greifen.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Terme und (Un-) Gleichungen' von Diophant]
\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1157
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-06

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \DeclareMathOperator{\mer}{mer} \DeclareMathOperator{\Sht}{Sht} \DeclareMathOperator{\Ann}{Ann} \DeclareMathOperator{\Et}{\acute{E}t} \DeclareMathOperator{\et}{\acute{e}t} \DeclareMathOperator{\etaleness}{\acute{e}taleness} \newcommand{\h}{\o{h}} \newcommand{\unr}[1]{#1^{\o{un}}} \DeclareMathOperator{\H}{H} \DeclareMathOperator{\ind}{ind} \DeclareMathOperator{\etale}{\acute{e}tale} \DeclareMathOperator{\Coker}{Coker} \DeclareMathOperator{\Div}{Div} \DeclareMathOperator{\Gl}{GL} \DeclareMathOperator{\PGL}{PGL} \DeclareMathOperator{\dom}{dom} \DeclareMathOperator{\PSL}{PSL} \DeclareMathOperator{\SL}{SL} \DeclareMathOperator{\Res}{Res} \DeclareMathOperator{\equi}{equi} \DeclareMathOperator{\Hecke}{Hecke} \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\Jac}{Jac} 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@Diophant Betrachtest du hier $W(x)$ als eine Konstante? Wir wissen doch nichtmal, ob die Gleichung algebraisch ist solange wir $W(x)$ nicht kennen.
@Nexxuz
Was ist denn $W(x)$? Ohne zu wissen was das ist kann man gar nicht sagen auf was für eine Gleichung das herausläuft.


-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-06

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
@xst:
2019-11-06 12:00 - Nexxuz im Themenstart schreibt:
... \(W(x)\)habe ich bestimmt und ich würde gerne die Formel nach x umstellen...

Das habe ich jetzt mal so verstanden, dass 'bestimmt' meint, dass ein konkreter Funktionswert vorliegt. Also ja: eine Konstante.

Im anderen Fall ginge ich doch mal stark davon aus, dass der TS diese Funktion dann irgendwie mitgeteilt hätte, einfacherweise auf der linke Seite hingeschrieben...  smile


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-06

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2019-11-06 14:09 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
@xst:
2019-11-06 12:00 - Nexxuz im Themenstart schreibt:
... \(W(x)\)habe ich bestimmt und ich würde gerne die Formel nach x umstellen...

Das habe ich jetzt mal so verstanden, dass 'bestimmt' meint, dass ein konkreter Funktionswert vorliegt. Also ja: eine Konstante.

Im anderen Fall ginge ich doch mal stark davon aus, dass der TS diese Funktion dann irgendwie mitgeteilt hätte, einfacherweise auf der linke Seite hingeschrieben...  smile


Gruß, Diophant
Hi Diophant.
Dann sollte der TS aber nicht $W(x)$ schreiben. Falls es eine Konstante wäre, dann hätte er gleich $\frac{a}{x^{0.7}}+\frac{b}{x}+c=0$ schreiben können. Ich gehe stark davon aus, dass er das so aufgeschrieben hätte, falls $W$ eine Konstante wäre.

Viele Grüße
XST
\(\endgroup\)


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Nexxuz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-06


@xiao_shi_tou_ Tut mir Leid, da habe ich mich etwas ungünstig ausgedrückt. W(x) ist ein Wert, den ich durch mein Experiment und meine Berechnungen bestimmt habe, er hängt aber von x ab. In dem Paper sind die anderen Konstanten angegeben, sodass sie wesentlich Konstanter sind, also mein W(x). Das einzige, was mein W(x) beeinflusst ist x und die Konstante c, welche ich allerdings auch schon bestimmt habe. Es wäre günstiger gewesen das W(x) einfach als d zu bezeichnen denke ich...

@Diophant Danke fürs verschieben des Themas. Aber wenn du die These vertritst, dass meine Funktion eine Gleichung 10. Ordnung und nicht Algebraisch lösbar ist, hatten meine Kollegen und ich zumindest teilweise recht, da wir auch auf Grad 10 gekommen waren. Wir konnten uns nur nicht vorstellen, dass in dem Paper gesagt wird: "Nehmt Formel und Konstanten und dann habt ihr x", dabei aber eher gemeint ist, lasst mal eure PCs rechnen.... Danke auch nochmal dafür

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-06

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo Nexxuz,

es kommt ja die Potenz \(x^{0.7}=x^{7/10}\) vor, also ist das nichts anderes als eine Wurzelgleichung. Und die würde man - gesetzt, das ginge - so lösen, dass man zunächst die Wurzel isoliert und durch Potenzieren auflöst. Und das wäre hier ja gerade die 10. Potenz, so erklärt sich das schon.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-06

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-11-06 15:25 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
Hallo Nexxuz,

es kommt ja die Potenz \(x^{0.7}=x^{7/10}\) vor, also ist das nichts anderes als eine Wurzelgleichung. Und die würde man - gesetzt, das ginge - so lösen, dass man zunächst die Wurzel isoliert und durch Potenzieren auflöst. Und das wäre hier ja gerade die 10. Potenz, so erklärt sich das schon.


Gruß, Diophant

Ich dachte bei x^(7/10) an 10. Wurzel aus x^7..eher 7. Potenz...aber gut, je nachdem , von wo aus man es betrachtet.


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2019-11-06 16:57 - pzktupel in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich dachte bei x^(7/10) an 10. Wurzel aus x^7..eher 7. Potenz...aber gut, je nachdem , von wo aus man es betrachtet.

Und wie löst man wohl eine 10. Wurzel auf? ...





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...die Probe wäre dann die 10. Potenz vom Ergebnis. Sagte ja, aus welcher Richtung man es sieht.




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__________________________________________________________________________

Aber mal was ähnliches, vielleicht kann man doch die 10. Wurzel schriftlich berechnen...zumindest theoretisch.

Vor 30 Jahren entwickelte ich mal aus Spaß in einer Woche einen Weg, um die Kubikwurzel exakt zu berechnen, dabei spielten im Rechenverlauf Quadratische Gleichungen eine Rolle (Ich könnte das Blatt mal posten, mit meiner Kinderschrift). Veröffentlicht habe ich bisher nie, aber es war so wichtig, das ich es behalten habe.

Worauf will ich hinaus .... 10. Wurzel ist Wurzel aus der 5. Wurzel.
Wenn man einen Weg fände, die 5. Wurzel anhand von Gleichungen 4. Grades zu bestimmen, dann wäre die 10. Wurzel schriftlich möglich.




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hyperG
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Wenn man die Gleichung nach Variable x umstellen will, geht man natürlich davon aus, dass alle anderen Werte konst. sind.
Mit d= W-c sieht die Gleichung relativ einfach aus:
d=a/x^(7/10)+b/x 
a x^(3/10) + b = d x
a x^(3/10)  = d x -b | ^10
a^10 x^3 = b^10 - 10 b^9 d x + 45 b^8 d^2 x^2 - 120 b^7 d^3 x^3 + 210 b^6 d^4 x^4 - 252 b^5 d^5 x^5 + 210 b^4 d^6 x^6 - 120 b^3 d^7 x^7 + 45 b^2 d^8 x^8 - 10 b d^9 x^9 + d^10 x^10
0=b^10-10*b^9*d*x+45*b^8*d^2*x^2-(120*b^7*d^3+a^10)*x^3+210*b^6*d^4*x^4-252*b^5*d^5*x^5+210*b^4*d^6*x^6-120*b^3*d^7*x^7+45*b^2*d^8*x^8-10*b*d^9*x^9+d^10*x^10

Dieses Polynom 10. Grades ist - wie hier schon richtig gesagt wurde - nur für sehr wenig Spezialfälle exakt algebraisch lösbar.

ABER schon die Worte "Schule" und statt 7/10 die reelle Zahl 0.7
deutet auf die Tatsache hin, dass jemand mit Näherungslösungen zufrieden ist.
Ob nun Bisektion oder Newton-Verfahren, ist hier relativ egal (Newton konvergiert schneller).

Hier ein einfaches praktisches Beispiel, wie man das mit 1 LINK & 1 Klick lösen kann:

Der Iterationsrechner (Beispiel 118 Newton... ist schon per LINK mit allen Parametern ausgefüllt)
nimmt die 4 Konstanten {a,b,c,W} in aC=Array(1,2,3,4) auf:



Die Probe erfolgt in der Abschlussberechnung:
Mit dem berechneten Argument (Dein x ist hier b=3.4499149069129778) wird der Funktion übergeben und in Variable c (Dein W) angezeigt.
Die 4 ist auch nach Einsetzen aller Werte wieder 4.
Probe OK.

Bei negativen oder extrem großen Werten kann es Fälle geben,
wo Startwert und Abruchbedingung angepasst werden müssen.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]



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