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  Fast überall verschwindende Funktionen |
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Zitronenlimonade
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 23.01.2019
Mitteilungen: 62
 |  Themenstart: 2019-11-07
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Sei( \Omega,A,\mue)ein Maßraum und f:\Omega -> \IR einen nichtnegative messbare Funktion.
Beweisen Sie: int(f,\mue, \Omega, Nichts) = 0 <=> f(x) =0 fast überall.
Ich habe eine Frage zum letzten Schritt im Beweis. Zur Verständlichkeit schreibe ich den Beweis dazu.
Bew.: '<-' Ann.: f = 0 fast überall
Sei N Nullmenge, f~ = 0 , f~ = f eingeschränkt auf \Omega ohne N
int(f, \mue ) = int(f, \mue, \Omega ohne N , Nichts) + int(f, \mue,N, Nichts) = 0
'->' Ann.: int(f, \mue, \Omega, Nichts) = 0
Sei B_n = {f >= 1/n }
0 = int(f, \mue) = int(f, \mue, B_n , Nichts) + int(f, \mue, \Omega ohne B_n , Nichts) >= 1/n * \mue (B_n) >= 0 -> B_n Nullmenge
union(B_n,n=1,\inf ) = {f > 0 } (Nullmenge) -> f = 0 fast überall
q.e.d.
Ich verstehe nicht, wieso aus dem letzten Schritt das benötigte folgt.
Hoffe hier kann mir jemand helfen und ich bedanke mich schon einmal im voraus. :)
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 Profil
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Vercassivelaunos
Senior 
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
|  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-07
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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Hallo Zitronenlimonade,
bei welchem Schritt genau hast du Probleme? Bei "$B_n$ Nullmenge für alle $n$ $\Rightarrow$ $\bigcup_n B_n$ Nullmenge", oder bei "$\bigcup_n B_n$ Nullmenge $\Rightarrow$ $f=0$ fast überall"?
Ersteres folgt aus der $\sigma$-Subadditivität von Maßen. Es ist dann nämlich $\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)\leq\sum_{n=1}^\infty\mu(B_n)=\sum_{n=1}^\infty 0=0$, womit $\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)=0$ ist, diese Vereinigung ist also eine Nullmenge.
Letzteres folgt aus der Nichtnegativität von $f$. Denn $\bigcup_{n=1}^\infty B_n$ ist die Menge, auf der $f>0$. Wegen der Nichtnegativität ist sie gleichzeitig auch die Menge, auf der $f\neq0$, denn kleiner als 0 wird $f$ ja nicht. Da es sich um eine Nullmenge handelt, ist $f$ fast überall 0 (die Ausnahme ist eben diese Nullmenge).
Viele Grüße,
Vercassivelaunos\(\endgroup\)
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Zitronenlimonade
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 23.01.2019
Mitteilungen: 62
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-13
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Ah okay vielen lieben Dank!
Mir war nicht klar, dass wenn \(f(x)= 0\) fast überall gelten soll, dass es auf der Nullmenge somit nicht 0 sein darf.
Danke für deine Erklärung. :)
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