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  Das Geburtstagsparadoxon |
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Moana
Aktiv 
Dabei seit: 18.10.2007
Mitteilungen: 238
Aus: Berlin
 |      Themenstart: 2019-11-08 16:15
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Hallo liebe Leute,
eine neue Woche, ein neues Übungsblatt.
In dieser Aufgabe geht es um das Geburtstagsparadoxon. Nur will ich halt als Lösung nicht hinschreiben: siehe wikipedia -> Geburtstagsparadoxon.
Die Aufgabe: In Klammern stehen die Fußnoten des Profs:
Nehmen wir mal der Einfachkeit halber an, dass jedes Jahr 365 Tage hat (Ich weiß, das stimmt nicht.) und dass jeder Geburtstag die gleiche Wahrscheinlichkeit hat. (Das stimmt auch nicht, der Grund ist aber ein bischen weniger trivial, als bei der ersten Fußnote.)
a. Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit, dass es unter n zufällig ausgewählten Leuten mindestens zwei mit demselben Geburtstag gibt.
  
Das wichtige Wort bei der Aufgabe ist ''mindestens''. Ich arbeite mit der Gegenwahrscheinlichkeit ''alle haben an unterschiedlichen Tagen geburtstag'' Überlegeung zuerst war, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, wenn sich 2 Leute treffen, dass sie nicht am selben Tag geburtstag haben: 365/365 * 364/365 \approx\ 0,9973 Wenn ich das jetzt für 365 Personen aufschreibe, sieht es so aus: 365/365 * 364/365 * 363/365 * 362/365 * \cdots * 1/365 = 365!/365^365 Auf n Personen angewendet (0 <= n <= 365): (365!/(365-n)!)/365^n = 365!/((365-n)!*365^n) => P(min. 2 am selben Tag geb. bei n zufälligen Personen) = 1 - 365!/((365-n)!*365^n)
b. Wie groß muss n mindestens sein, dass diese Wahrscheinlichkeit größer als 50% ist?
Tja, hier würde ich nur approximieren. Angefangen mit \(n=100\) und dann eben solange, bis ich auf 23 Personen komme.
c. Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeit, dass es unter n zufällig ausgewählten Leuten mindestens drei mit demselben Geburtstag gibt. (Tip: Berechnen Sie erst die Wahrscheinlichkeiten, dass es genau ein "Geburtstagspaar" gibt, dann zwei "Geburtstagspaare", etc.)(Extra credit Aufgabe, wenn Sie ein bischen programmieren können: Wie groß muss n mindestens sein, dass diese Wahrscheinlichkeit größer als 50% ist?)
Ähm ja, hier fehlt mir gerade so toal der Ansatz 
LG
Moana
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2311
Aus: Rosenfeld, BW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-08 16:32
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\(\begingroup\)\(
\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo mal wieder,
a) und b) müssen wir hier ja nicht besprechen, wenn ich dich richtig verstehe. Insbesondere das mit der b) siehst du richtig, wobei es da sicherlich effizientere Wege gibt als Probieren, aber darum geht es ja hier eher nicht. Aber: da musst du wesentlich niedriger anfangen als bei \(n=100\), so viel sei gleich einmal verraten (das Ding trägt ja nicht umsonst das Wort Paradoxon im Namen  ).
Nun zur Frage c). Der Tipp ist so gemeint, dass man ebenfalls wieder über das Gegenereignis geht. Das besteht dieses mal jedoch aus zwei unterschiedlichen Möglichkeiten:
1). Es haben wieder alle n Personen an unterschiedlichen Tagen Geburtstag.
2). Oder es gibt mindestens ein Paar von Personen, welches am gleichen Tag Geburtstag hat.
Der Fall 1) ist ja analog zum klassischen Problem. Für den zweiten Fall zählt man wieder die Anzahl der günstigen Fälle. Hier muss man für jede mögliche Anzahl von Paaren getrennt zählen. Da es um eine paarweise Auswahl aus einer Grundmenge ohne Beachtung der Reihenfolge geht, verrate ich kein Geheimnis, wenn ich mal den Begriff Binomialkoeffizient in den Raum werfe. Die Anzahl an Fällen für jede mögliche Anzahl an Paaren muss man dann noch aufsummieren. Da wird man als notwendiges Handwerkszeug auf jeden Fall Summen- und Produktzeichen sowie Gaußklammern benötigen...
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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pzktupel
Aktiv 
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 1044
Aus: Thüringen,Erfurter Raum
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-08 16:40
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In meiner Klasse war eine Schülerin, die hatte exact am selben Tag und Jahr gehabt , wie ich.
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Moana
Aktiv 
Dabei seit: 18.10.2007
Mitteilungen: 238
Aus: Berlin
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-08 16:45
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Danke Diophant. Sobald ich zu Hause bin setze ich mich mal ran und poste dann meinen Versuch
LG
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Kitaktus
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Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6098
Aus: Niedersachsen
 | Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-08 18:49
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Für die Extrapunkte:
Wenn sich n Personen treffen, dann sind die folgenden Fälle möglich:
a) es gibt (mindestens) drei, die an einem Tag Geburtstag haben
b) es gibt k Paare (k=0...?) die jeweils am gleichen Tag Geburtstag haben, alle anderen haben jeweils alleine Geburtstag.
Wenn man die Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse kennt, dann kann man iterativ berechnen, wie diese Wahrscheinlichkeiten sich verändern, wenn eine weitere Person dazukommt. Dabei sind vier Fälle möglich.
a) Die Person hat an einem Tag Geburtstag, an dem kein anderer hat
b) Die Person hat an einem Tag Geburtstag, an dem genau ein anderer hat
c) Die Person hat an einem Tag Geburtstag, an dem genau zwei andere haben.
d) Die Person hat an einem Tag Geburtstag, an dem mehr als zwei andere haben.
Nun muss man "nur" die richtigen Gleichungen aufstellen und die Werte dann berechnen (lassen).
EDIT: Ich habe das mal programmiert und komme bei 46 Personen auf eine Dreier-Wahrscheinlichkeit von 10%. Vielleicht kann das mal jemand gegenprüfen.
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stpolster
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Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1017
Aus: Chemnitz
| Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-08 19:59
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2019-11-08 18:49 - Kitaktus in Beitrag No. 4 schreibt:
EDIT: Ich habe das mal programmiert und komme bei 46 Personen auf eine Dreier-Wahrscheinlichkeit von 10%. Vielleicht kann das mal jemand gegenprüfen. Kann ich bestätigen.
siehe kleines Einzelprogramm unter mathematikalpha.de/geburtstagsproblem
LG Steffen
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Moana
Aktiv
Dabei seit: 18.10.2007
Mitteilungen: 238
Aus: Berlin
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-08 22:08
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Ok, jetzt habe ich das mit dem Tip verstanden :). Dennoch hänge ich etwas fest. Bis jetzt habe ich:
Auch hier kann ich das Gegenereignis verwenden A = min. 3 am gleichen Tag A^- = keiner am gleichen Tag und genau 2 am gleichen Tag P(A) = 1 - P(A^-) Berechnungen: 0 Paare wurde schon berechnet: 365!/((365-n)!*365^n) 1 Paar: 1/365^n*(n;2)*365*364*363*\cdots*(365-n+2) 2 Paare: 1/365^n*(n;2)*(n-2;2)*1/2!*365*364*363*\cdots*(365-n+3) 3 Paare: 1/365^n*(n;2)*(n-2;2)*(n-4;2)*1/3!*365*364*363*\cdots*(365-n+4) \vdots k Paare: 1/365^n*(n;2)*(n-2;2)*(n-4;2)*\cdots*(n-2k+2;2)*1/k!*365*364*363*\cdots*(365-n+k+1)
Jetzt muss das noch zusammengefasst werden. Nur leider sehe ich gerade nicht wie. Wahrscheinlich bin ich einfach zu müde 
Sind meine Überlegungen bis jetzt denn korrekt?
LG
Moana
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2311
Aus: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-08 22:30
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Hallo,
in Sachen Müdigkeit: willkommen im Club. ;-)
Deine obigen Überlegungen sind komplett richtig.
Versuche jetzt, die Produkte von Binomialkoeffizienten mit Hilfe des Produktsymbols (obere Schranke: k) darzustellen und den Rest in Abhängigkeit von k (das hast du ja schon).
Dann kannst du den entstehenden Term letztendlich für alle k per Summenzeichen aufsummieren (wobei mein Hinweis mit der Gauß-Klammer vorschnell war: ich dachte zunächst fälschlicherweise, dass man für n gerade/ungerade eine Fallunterscheidung vornehmen muss, was aber unnötig ist).
Gruß, Diophant
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Bernhard
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Dabei seit: 01.10.2005
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Aus: Merzhausen, Deutschland
 | Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-08 23:04
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Hallo pzktupel!
2019-11-08 16:40 - pzktupel in Beitrag No. 2 schreibt:
In meiner Klasse war eine Schülerin, die hatte exact am selben Tag und Jahr gehabt , wie ich. Wir hatten drei Pärchen, darunter eines mit demselben Jahrgang und einmal große Straße: vom 22. bis 26. eines Monats desselben Jahres jeden Tag einer/eine geboren.
Zufrieden?
Bernhard
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"Wichtig ist, daß man nie aufhört zu fragen"
"Weisheit ist nicht das Ergebnis der Schulbildung, sondern des lebenslangen Versuches, sie zu erwerben"
Albert Einstein
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Moana
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Mitteilungen: 238
Aus: Berlin
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-10 12:39
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2311
Aus: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.10, eingetragen 2019-11-10 12:46
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\(\begingroup\)\(
\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,
sieht alles gut aus. Da \(\prod_{i=1}^0=1\) per Definition gilt ("leeres Produkt"), ist es doch praktisch, mit \(k=0\) zu beginnen: dann hast du den Fall, dass alle an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben, gleich auch mit in deiner Summe drin.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Moana
Aktiv
Dabei seit: 18.10.2007
Mitteilungen: 238
Aus: Berlin
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-10 13:29
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Vielen Dank Diophant. Wieder was dazu gelernt ^^
Ich wünsche dir noch einen schönen Restsonntag 
LG
Moana
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
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| Beitrag No.12, eingetragen 2019-11-17 17:32
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Huhu,
bei Durchsicht meiner alten Klausuren habe ich auch noch eine Übungsaufgabe zu diesem Thema gefunden (Aufgabe 3.3). Vielleicht ist ja auch sonst noch eine Aufgabe für einen anderen geneigten Leser dabei.
Gruß,
Küstenkind
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